Eigenwerte einer 2x2 Matrix

25.07.2017, 17:07	Letterling	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte einer 2x2 Matrix Hallo. Ich habe hier ein Problem, was nicht wirklich wichtig ist, mich aber wundert. Ich habe folgende Gleichung: $\begin{eqnarray} \begin{bmatrix}m/3 & m/6 \\m/6 & m/3 \end{bmatrix} \ddot{\vec q} + \begin{bmatrix}k & 0 \\0 & k \end{bmatrix} \vec q = 0 \end{eqnarray}$ Die Matrixbezeichnungen lauten: $\begin{eqnarray} M = \begin{bmatrix}m/3 & m/6 \\m/6 & m/3 \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} K = \begin{bmatrix}k & 0 \\0 & k \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ Lösung mit dem e-lambda-Ansatz: $\begin{eqnarray} (M\lambda^2+K) \vec x=0 \end{eqnarray}$ führt auf: $\begin{eqnarray} det(M \lambda^2 + K)=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} det(\lambda^2I+M^{-1} K)=0 \end{eqnarray}$ Die beiden Gleichungen sollten die gleichen Ergebnisse liefern, jedoch bekomme ich für verschiedene Lösungen. Habe es mit Handrechnung und WolframAlpha versucht. Kann mir jemand sagen, warum da unterschiedliche Ergebnisse rauskommen? Ich habe das Gefühl ich stehe total auf dem Schlauch. Beste Grüße
25.07.2017, 20:36	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohne Rechnung wird das schwer zu sagen sein. Fakt ist aber für invertierbares M: $\begin{eqnarray} det(M\lambda^2+K)=det(M(\lambda^2I+M^{-1}K)=det(M)\cdot det(\lambda^2I+M^{-1}K) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (M\lambda^2+K)x=M(\lambda^2I+M^{-1}K)x \end{eqnarray}$

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