Gekoppelte DGL lösen

25.07.2017, 18:12	Approxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Gekoppelte DGL lösen Hallo, kann mal bitte jemand überprüfen, ob das folgende Gleichungssystem korrekt gelöst habe. Sei $\begin{eqnarray} \dot{q} = \frac{1}{m}(p-gq) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dot{p}=\frac{1}{m}g(p-gq) - k q \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g,k \end{eqnarray}$ sind reelle Konstanten. Um das Gleichungssystem zu entkoppeln geht man wie folgt vor: (1) Die Bewegungsgleichung für $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ auflösen. (2) Das Ergebnis $\begin{eqnarray} p=p(q,\dot q) \end{eqnarray}$ in die Bewegungsgleichung für $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ einsetzen. Damit erhält man $\begin{eqnarray} \ddot{q}(t) =\frac{1}{m}(g\dot{q} - kq -gq) \end{eqnarray}$ Die Lösung der DGL zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten lautet: $\begin{eqnarray} q(t)= A \cdot e^{\lambda_1 t} + B \cdot e^{\lambda_2 t} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \lambda_{1,2} = \frac{g}{2m} \pm \sqrt{\frac{g^2 -4gm-4km}{4m^2}} \end{eqnarray}$ . Aus (1) erhält man die Gleichung $\begin{eqnarray} p (t) = g\dot{q} - kq \end{eqnarray}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray} p(t)=g \cdot (\lambda_1 A \cdot e^{\lambda_1 t} + \lambda_2 B \cdot e^{\lambda_2 t}) + k\cdot(A \cdot e^{\lambda_1 t} + B \cdot e^{\lambda_2 t}) \end{eqnarray}$ Gruß Approxx

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