Taylorentwicklung

25.07.2017, 20:27	Skuzus	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorentwicklung In meinem Skript steht folgendes: Wir entwickeln $\begin{eqnarray} g(x)=-\frac{1}{(1+x)^2}+1 \end{eqnarray}$ um die $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Das ganze wird dann folgendermaßen gemacht: $\begin{eqnarray} g(x)=g(0)+ \int_{0}^{x} g'(t) dt = g(0) + g'(\xi) x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x\in (0,x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{2}{(1+\vartheta\cdot x)^3} \cdot x \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \xi = \vartheta x \end{eqnarray}$ Also letzteres ist ja einfach der MWS der Integralrechnung. Aber warum gilt die erste Gleichung? Mir ist eine Taylorentwicklung mittels Integral so nie untergekommen. Warum gilt die Gleichheit überhaupt? Wäre sehr nett wenn mir jemand helfen könnte. Mfg. Skuzus
25.07.2017, 20:29	Skuzus	Auf diesen Beitrag antworten »
Also es geht mir um $\begin{eqnarray} g(x)=g(0)+ \int_{0}^{x} g'(t) dt \end{eqnarray}$ was ich nicht verstehe. Weiß nicht ob es aus meinem etwas verwirrten Beitrag oben deutlich wurde. Ein Tippfehler ist mir ebenfalls unterlaufen $\begin{eqnarray} \xi \in (0,x) \end{eqnarray}$ nicht $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$
25.07.2017, 21:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} g \end{align}$ ist Stammfunktion von $\begin{align} g' \end{align}$ , also gilt nach Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung $\begin{align} \int\limits_a^b g'(t) ~ \dd t = g(b)-g(a) \end{align}$ , speziell auch für $\begin{align} a=0 \end{align}$ und $\begin{align} b=x \end{align}$ .

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