Ableitung Delta-Distribution

26.07.2017, 10:00

Silencium92

Ableitung Delta-Distribution

Guten Tag zusammen,

gilt folgende Gleichheit?

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta (k'-k)}{k'-k} = \frac{d}{dk}\delta(k'-k) \end{eqnarray*}$

Falls ja, könnte mir jemand erklären warum das gleich ist?

Gruß
Silencium

26.07.2017, 10:12

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn ich die Notation nicht ganz durchschaue, meiner Meinung gilt das nicht, denn für die Deltadistribution $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , definiert durch $\begin{eqnarray*} T[\varphi]:=\varphi(0) \end{eqnarray*}$ für eine Testfunktion $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ , gilt
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{d}{dx}T\right)[\varphi]=-T\left[\frac{d\varphi}{dx}\right]=-\frac{d\varphi}{dx}(0) \end{eqnarray*}$ .
In Deiner Gleichung kann ich weder das Minus noch die Auswertung der Ableitung einer Testfunktion entdecken.

26.07.2017, 10:20

Clearly_wrong

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit $\begin{align*} \delta(k'-k) \end{align*}$ , ist damit das Auswertungsfunktional in $\begin{align*} k \end{align*}$ gemeint, also $\begin{align*} \int \delta(k'-k)f(k') = f(k) \end{align*}$ ? Falls nicht, solltest du mal erklären, wie das zu verstehen ist. Falls ja, musst du erstmal erklären, was hier überhaupt für eine Ableitung gemeint ist. Man kann Distributionen ableiten, ja. Allerdings handelt es sich dabei um die Distributionsableitung einer festen Distribution. Was du hier versuchst, sieht so aus, wie die Ableitung der distributionswertigen(!) Abbildung $\begin{align*} k\mapsto \delta(k'-k) \end{align*}$ . Das ist a priori was völlig anderes und zumindest mir ist nicht klar, was das überhaupt sein soll. Schreib doch bitte einmal die Definition davon auf.

26.07.2017, 14:07

Silencium92

Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht um folgenden Zusammenhang:

Man soll den Ortsoperator $\begin{eqnarray*} Xf = xf \end{eqnarray*}$ in der Basis $\begin{eqnarray*} \{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{ikx}, k\in \mathbb R| x \in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$ darstellen. X ist auf $\begin{eqnarray*} L^2(\mathbb R,\mathbb C) \end{eqnarray*}$ definiert.

Für die Basiselemente schreiben wir im folgenden $\begin{eqnarray*} |k> \end{eqnarray*}$
Dirac-Notation:

$\begin{eqnarray*} <k|X|k'>= \dots = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ikx}xe^{ik'x}= i \frac{d}{dk} (\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{i(k'-k)x}) = i \frac{d}{dk} (\delta (k-k')) \end{eqnarray*}$

Ich habe nicht nachvollzogen, wie die vorletzte Gleichheit zustande kommt.

Ich habe versucht, den Term davor partiell zu integrieren und kam auf

$\begin{eqnarray*} i\frac{\delta (k'-k)}{k'-k} \end{eqnarray*}$ .

Daraus hatte ich dann geschlussfolgert, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{\delta (k'-k)}{k'-k} = \frac{d}{dk}\delta(k'-k) \end{eqnarray*}$

26.07.2017, 15:14

Clearly_wrong

Auf diesen Beitrag antworten »

Damit bin ich raus. Ich erkenne, dass das aus einer Vorlesung stammen wird, die nichts davon erklärt hat und du das daher auch nicht tun kannst. Ich kann aber nur mit sauberen Definitionen arbeiten, so kann ich nicht helfen.

Unter anderem ist die angegebene Familie keine Basis von $\begin{align*} L^2 \end{align*}$ , nicht einmal eine Teilmenge. $\begin{align*} X \end{align*}$ müsste man weiterhin als unbeschränkten (und natürlich nicht voll definierten) Operator auffassen. Die Ableitung ergibt für mich weiterhin keinen Sinn, siehe oben.

Ich weiß, dass du nichts dafür kannst, aber ich kann dir so auch nicht weiterhelfen. Vielleicht hat system-agent mehr Ahnung davon oder es findet sich jemand anderes.

26.07.2017, 15:33

Silencium92

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich kann aber nur mit sauberen Definitionen arbeiten, so kann ich nicht helfen.

Nachvollziehbar.

Und ja, dass sind Notizen aus meiner Vorlesung.

Kannst du vielleicht den folgenden Schritt nachvollziehen?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ikx}xe^{ik'x}= i \frac{d}{dk} (\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{i(k'-k)x}) \end{eqnarray*}$

26.07.2017, 15:41

Clearly_wrong

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann nachvollziehen, was die Idee dahinter ist. Für die Abbildung $\begin{align*} k\mapsto e^{i(k'-k)x} \end{align*}$ ist die Ableitung genau $\begin{align*} -ixe^{i(k'-k)x} \end{align*}$ nach Kettenregel, also ist $\begin{align*} xe^{i(k'-k)x} = i\frac{\mathrm d}{\mathrm dk}e^{i(k'-k)x} \end{align*}$ . Danach wird die Ableitung aus dem Integral herausgezogen. Das Problem ist, dass da in Wirklichkeit kein Integral steht, sondern eine Distribution, man kann nicht einfach so tun, als wäre das ein gewöhnliches Integral und selbst wenn, wäre fraglich, ob die Voraussetzung zum Herausziehen der Ableitung erfüllt wäre.

26.07.2017, 20:58

index_razor

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Clearly_wrong
Unter anderem ist die angegebene Familie keine Basis von $\begin{align*} L^2 \end{align*}$ , nicht einmal eine Teilmenge. $\begin{align*} X \end{align*}$ müsste man weiterhin als unbeschränkten (und natürlich nicht voll definierten) Operator auffassen. Die Ableitung ergibt für mich weiterhin keinen Sinn, siehe oben.

Was hier passiert ist, denke ich, daß aus der dichten Teilmenge D, auf der der Operator X definiert sein soll, das Gelfand-Tripel konstruiert wird (oder zumindest stillschweigend angenommen wird) und dann der Hilbertraum mit dem Dual von D munter durcheinander geschmissen wird. Die angegebene Familie $\begin{align*} e^{ikx} \end{align*}$ von Funktionen ist, soweit ich das verstehe, im Sinne von Distributionen auf den Elementen von D aufzufassen.

Ob das damit dann irgendwie alles sinnvoll definierbar ist, weiß ich nicht, ich fände aber auch schön, wenn mir das mal jemand verständlich erklären könnte. Vielleicht helfen diese paar Stichworte ja schon weiter?

27.07.2017, 09:05

index_razor

Auf diesen Beitrag antworten »

Noch ein paar weitere Bemerkungen:

Der Operator, der hier untersucht werden soll, ist demzufolge auch nicht der ursprünglich hingeschriebene $\begin{align*} (Xf)(x)=xf(x) \end{align*}$ , sondern dessen Adjungiertes $\begin{align*} X': D' \rightarrow ? \end{align*}$ . Die Frage ist also zunächst, was ist ein geeignetes D? Hierfür vielleicht noch ein bißchen Hintergrund: Worum es physikalisch geht, ist eine Realisierung der "kanonischen Vertauschunsgrelation" $\begin{align*} [X,P]=i \end{align*}$ . Physikalisch relevant ist das, weil damit P der Generator von X-Translationen ist, es sich also um die die beiden Größen Ort und Impuls handelt. Das heißt in der Spektraldarstellung für X muß sowas gelten wie

$\begin{align*} e^{iaP}f(x) = f(x + a). \end{align*}$

Daraus kann man erraten, daß $\begin{align*} P = -i\frac{d}{dx} \end{align*}$ und daß der Zusammenhang zwischen der X- und der P-Darstellung irgendwas mit Fourier-Transformation zu tun haben muß. Bei dem zu untersuchenden Gelfand-Tripel handelt es sich also wahrscheinlich um $\begin{align*} (L^2, S, S') \end{align*}$ , dem "Hilbertraum in Ortsdarstellung", dem Schwartz-Raum aufgefaßt als Teilmenge von $\begin{align*} L^2 \end{align*}$ und dessen Dualraum $\begin{align*} S'\supset L^2 \end{align*}$ . Wegen der letzten Inklusionsbeziehung muß man sich nicht mehr auf Elemente von $\begin{align*} L^2 \end{align*}$ beschränken, was der Grund ist, warum man das ganze überhaupt macht.

Der Ausdruck $\begin{align*} \langle k|X|k'\rangle \end{align*}$ ist damit vermutlich immer noch sinnlos, aber es ist wohl gemeint, daß man irgendeine explizite Darstellung für $\begin{align*} X'e^{ik(\cdot)} \end{align*}$ angeben soll. Hier muß man wohl nur Fourier-Transformieren. Also mit $\begin{align*} f \in S \end{align*}$ wäre dann

$\begin{align*} \int e^{-ikx} (Xf)(x) d x = \int e^{-ikx} xf(x) dx = \int (xe^{-ixk})f(x) dx = \int i\frac{d}{d k}e^{-ikx} f(x) dx = \int (X' e^{ik(\cdot)})(x) f(x) dx \end{align*}$

Das hieße also $\begin{align*} X' = i\frac{d}{d k} \end{align*}$ .

27.07.2017, 12:03

Clearly_wrong

Auf diesen Beitrag antworten »

Das bringt einiges Licht ins Dunkel. Ein paar Fragen bleiben bei mir noch offen.

(1) Wenn wir $\begin{align*} X \end{align*}$ als Operator $\begin{align*} S\to L^2 \end{align*}$ auffassen, ist ja $\begin{align*} X'e^{ikx} \end{align*}$ wieder nicht wohldefiniert. Allerdings bilder $\begin{align*} X \end{align*}$ natürlich auch $\begin{align*} S \end{align*}$ in $\begin{align*} S \end{align*}$ ab, sodass wir $\begin{align*} X':S'\to S' \end{align*}$ betrachten können, ist es das, was hier passiert?

(2) Falls ja, so verstehe ich nicht, warum man $\begin{align*} X' \end{align*}$ als $\begin{align*} i\frac{d}{dk} \end{align*}$ darstellen möchte, schließlich ergibt dieser Ausdruck nur dann Sinn, wenn es sich um eine der Distributionen $\begin{align*} e^{ikx} \end{align*}$ handelt. Wenn man beispielsweise die als Distribution aufgefasste Funktion $\begin{align*} x\mapsto x^2 \end{align*}$ betrachtet hat man anhand dieser Darstellung keine Ahnung, was jetzt $\begin{align*} i\frac{d}{dk}x^2 \end{align*}$ sein soll.

Warum belässt man es nicht einfach dabei, $\begin{align*} X' \end{align*}$ als Multiplikation mit der Funktion $\begin{align*} x\mapsto x \end{align*}$ auf $\begin{align*} S' \end{align*}$ darzustellen?

27.07.2017, 17:47

index_razor

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Clearly_wrong
Das bringt einiges Licht ins Dunkel. Ein paar Fragen bleiben bei mir noch offen.

(1) Wenn wir $\begin{align*} X \end{align*}$ als Operator $\begin{align*} S\to L^2 \end{align*}$ auffassen, ist ja $\begin{align*} X'e^{ikx} \end{align*}$ wieder nicht wohldefiniert. Allerdings bilder $\begin{align*} X \end{align*}$ natürlich auch $\begin{align*} S \end{align*}$ in $\begin{align*} S \end{align*}$ ab, sodass wir $\begin{align*} X':S'\to S' \end{align*}$ betrachten können, ist es das, was hier passiert?

Ja, genau das ist die Idee. Das wird sogar noch weiter getrieben und es werden für X "Eigendistributionen" aus S' $\begin{align*} X'\delta_\lambda = \lambda\delta_\lambda \end{align*}$ angegeben. In S' läßt sich diese "Eigenwertgleichung", anders als in S oder $\begin{align*} L^2 \end{align*}$ ja erfüllen. (Physiker unterscheiden nicht zwischen X und X', obwohl sie nicht auf demselben Raum definiert sind.) Diese "verallgemeinerten Eigenfunktionen" bilden eine "kontinuierliche Basis" von S, wegen

$\begin{align*} \int\delta(x-\lambda)f(x)\dd x=f(\lambda) \end{align*}$ etc.

Das klingt alles irgendwie nach Kauderwelsch, aber wenn man bestimmte ausgetretene Pfade nicht verläßt, d.h. nur erlaubte Dinge tut, kann man als Physiker meist ohne Probleme damit umgehen. Die Grenze zwischen erlaubt und unerlaubt abzustecken, ist genau der Sinn solcher Übungsaufgaben.

Zitat:

(2) Falls ja, so verstehe ich nicht, warum man $\begin{align*} X' \end{align*}$ als $\begin{align*} i\frac{d}{dk} \end{align*}$ darstellen möchte, schließlich ergibt dieser Ausdruck nur dann Sinn, wenn es sich um eine der Distributionen $\begin{align*} e^{ikx} \end{align*}$ handelt. Wenn man beispielsweise die als Distribution aufgefasste Funktion $\begin{align*} x\mapsto x^2 \end{align*}$ betrachtet hat man anhand dieser Darstellung keine Ahnung, was jetzt $\begin{align*} i\frac{d}{dk}x^2 \end{align*}$ sein soll.

Warum belässt man es nicht einfach dabei, $\begin{align*} X' \end{align*}$ als Multiplikation mit der Funktion $\begin{align*} x\mapsto x \end{align*}$ auf $\begin{align*} S' \end{align*}$ darzustellen?

Moment, hier stimmt was nicht. X' ist nicht als Multiplikation mit $\begin{align*} x\mapsto x \end{align*}$ definiert, sondern über die Beziehung $\begin{align*} (X'\phi)(f) = \phi(Xf) \end{align*}$ für $\begin{align*} \phi\in S' \end{align*}$ . In S' ist eine punktweise Multiplikation doch i.A. gar nicht definiert. In die P-Darstellung geht man nun über durch Fourier-Transformation von S'. Versuchen wir das mal für deinen Operator $\begin{align*} (Yf)(x)=x^2 f(x) \end{align*}$ . Dann ist wie gesagt

$\begin{align*} (Y'\phi)(f) = \phi(Yf) \end{align*}$ und

$\begin{align*} F[Y'\phi](f) = \phi(Y F^{-1}[f]) \end{align*}$

So, jetzt kommt, was Physiker mit diesem Sachverhalt anfangen. Dazu muß ich so tun, als könne ich $\begin{align*} \phi(h) = \int \phi(x)h(x) \dd x \end{align*}$ schreiben. Dann wäre

$\begin{align*} \int \phi(x)x^2 F^{-1}[f](x)\dd x = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\iint\dd x\dd k\left( \phi(x)x^2 e^{ikx}f(k)\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\dd x \phi(x)\int\dd k\left[-\frac{\dd^2}{\dd k^2} e^{ikx}\right]f(k) \end{align*}$

An dieser Stelle kann ich, glaube ich, partiell nach k integrieren und die Randterme ignorieren, da $\begin{align*} f \end{align*}$ aus S war. Damit ist dann

$\begin{align*} F[Y'\phi](f) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\dd x \phi(x)\int\dd k\left[-\frac{\dd^2}{\dd k^2}f(k)\right] e^{ikx} \end{align*}$

Das Integral bedeutet nun, je nach Sichtweise, entweder die Anwendung von $\begin{align*} \phi \end{align*}$ auf die inverse Fouriertransformierte von $\begin{align*} -f'' \end{align*}$ oder die Anwendung der Fouriertransformierten von $\begin{align*} \phi \end{align*}$ auf $\begin{align*} -f'' \end{align*}$ . D.h.

$\begin{align*} F[Y'\phi](f) = F[\phi](-f'') \end{align*}$

Jetzt kann man noch $\begin{align*} \phi(x) = e^{-ik'x} \end{align*}$ setzen und über x integrieren. Dann haben wir

$\begin{align*} F[Y'e^{-ik'(\cdot)}](f) = -f''(k') \end{align*}$

Das, was da auf der linken Seite steht -- ohne das f -- ist, denke ich, genau die Bedeutung von $\begin{align*} \langle k|Y|k'\rangle \end{align*}$ . Dein Operator hat also in diesem Sinne die "Impulsdarstellung" $\begin{align*} \langle k|Y|k'\rangle = -\delta(k-k')\frac{\dd^2}{\dd k'^2} \end{align*}$ . Dasselbe Programm soll mit Sicherheit in der Aufgabenstellung für den Operator X durchgeführt werden.

P.S.: Dabei fällt mir auf, daß hier wohl ein Mißverständnis auf Seiten des Fragestellers vorliegt. Es handelt sich hier nicht um die Ableitung der delta-Funktion, sondern um die Ableitung gefolgt von der delta-Funktion als Funktional auf S.

27.07.2017, 18:11

index_razor

Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem ich mir die Finger wund getippt habe, fällt mir auf, daß ich dich wohl falsch verstanden hatte. Du wolltest gar nicht den Operator $\begin{align*} x\mapsto x^2 \end{align*}$ betrachten, sondern den Operator X' aus der Aufgabenstellung auf die Distribution $\begin{align*} f(x)=x^2 \end{align*}$ anwenden. Aber diese Anwendung ist eigentlich nicht das Problem, da habe ich mich ursprünglich zu undeutlich ausgedrückt. Der Übergang zum Adjungierten dient nur dazu sorglos mit $\begin{align*} e^{ikx} \end{align*}$ etc. umzugehen, obwohl es sich nicht um quadratintegrable Funktionen handelt. Das eigentliche Problem ist die Fouriertransformation dieser ganzen Objekte, also der Übergang zur Impulsdarstellung.

27.07.2017, 18:33

Clearly_wrong

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die ganz Mühe, es ist sehr erleuchtend, mal ein wenig Hintergrundinformation zu den ganzen Sachen zu sehen, mit denen sich die Physiker da gerne beschäftigen smile

Zitat:

Original von index_razor
Moment, hier stimmt was nicht. X' ist nicht als Multiplikation mit $\begin{align*} x\mapsto x \end{align*}$ definiert, sondern über die Beziehung $\begin{align*} (X'\phi)(f) = \phi(Xf) \end{align*}$ für $\begin{align*} \phi\in S' \end{align*}$ . In S' ist eine punktweise Multiplikation doch i.A. gar nicht definiert.

Ja, nicht direkt. Meines Wissens ist es recht üblich, die Anwendung des Adjungierten $\begin{align*} (M_f)' \end{align*}$ des Multiplikationsoperators $\begin{align*} M_f \end{align*}$ für eine passende Funktion $\begin{align*} f \end{align*}$ auf eine Distribution auch direkt als Multiplikation der Distribution mit $\begin{align*} f \end{align*}$ zu bezeichnen, einfach weil das richtig ist, wenn die Distribution selbst eine Schwartzfunktion ist.

Viele Grüße und danke für alle Erklärungen.

Neue Frage »

Antworten »

Ableitung Delta-Distribution

Verwandte Themen