Gleichheit zweier Lucasfolgen

26.07.2017, 10:43	Mainman	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichheit zweier Lucasfolgen Meine Frage: Hallo! Ich habe für einen Beweis, das bestimmte Lucasfolgen elliptische Teilbarkeitsfolgen sind zu zeigen, dass: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \frac{(\sqrt{\frac{x}{y}})^n - (\sqrt{\frac{y}{x}})^n}{\sqrt{\frac{x}{y}} -\sqrt{\frac{y}{x}}} = (xy)^{\frac{1-n}{2}} \frac{x^n-y^n}{x-y}<br /> \end{eqnarray}$ dabei sind x,y verschieden und beide ungleich 0 und n ist eine natürliche Zahl. Meine Ideen:* Ich habe bereits versucht von beiden Seiten der Gleichung ranzugehen. Dabei habe ich schon fast alles mir mögliche versucht: 3. Bin. Formel auf der linken Seite, Umschreiben als Wurzelausdruck/Bruch der rechten seite etc. Leider komme ich auf nichts als einen Formelwust. Weder in Exponentendarstellung, noch in Wurzeldarstellung kann ich diese Gleichheit zeigen. Ein anderer Gedanke , der mir gerade kommt ist es mit Induktion über n zu verschen. Könnte das vielleicht funktionieren? Vielen Dank schonmal!
26.07.2017, 10:49	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichheit zweier Lucasfolgen Das ist am einfachsten zu sehen, indem man die Identität $\begin{eqnarray} \sum_{k = 0}^{n-1} a^k b^{n-1-k} = \frac { a^{n}- b^{n} } { a - b} \end{eqnarray}$ benutzt. Edit: Summengrenze angepasst, damit es einfacher zum anwenden ist.
26.07.2017, 14:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich geht es doch gar nicht um Summenformeln, sondern nur um die obige Identität, oder ... Zähler mit $\begin{align} \sqrt{xy}^n = (xy)^{\frac{n}{2}} \end{align}$ erweitern, Nenner mit $\begin{align} \sqrt{xy} = (xy)^{\frac{1}{2}} \end{align}$ , etwas vereinfachen - schon ist die Gleichheit doch klar, zumindest im Fall xy>0.
27.07.2017, 13:53	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte nicht genau ueberlegt beim direkten Nachweis. Ich dachte nach dem Ausklammern stände da $\begin{eqnarray} \sqrt x - \sqrt y \end{eqnarray}$ im Nenner und man müsste noch mithilfe der dritten binomischen Formel erweitern. Und mit dem Faktor im Zaehler konnte ich nichts angefangen. Damit nehme ich den Kommentar, dass die Summendarstellung die "einfachste" Loesung ist, gerne zurueck.

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