Vollständige Induktion mit zwei Behauptungen

26.07.2017, 17:14	Mainmann	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion mit zwei Behauptungen Meine Frage: Hallo, ich frage, ob ich eine Vollständige Induktion auch mit zwei Behauptungen auf einmal durchführen kann. Konkret: Ich habe zwei Aussagen P und Q, und habe zeiegt P(1) ist wahr und Q(1) ist wahr. kann ich dann als Induktionsannahme P(k) ist wahr und Q(k) ist wahr annehmen um P(k+1) und Q(k+1) wahr zu zeigen? Darf ich insbesondere in diesem Fall zum Zeigen von P(k+1) ist wahr die Voraussetzung Q(k) ist wahr nutzen? Leider habe ich dazu nichts gefunden... Ist das bei einer allgemeinen Induktion auch so? Meine Ideen: Ich glaube es müsste in beiden Fällen gehen, allerdings bin ich mir bei diesen Fragen nie so ganz sicher. Dankeschön!
26.07.2017, 17:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind P(n) und Q(n) Aussagen, dann ist auch (P und Q)(n) eine Aussage, also kann man diese Aussage durch vollständige Induktion beweisen. Die Reihenfolge bei einem Induktionsbeweis spielt keine Rolle, denn die Reihenfolge von Beweisschritten spielt bei Beweisen niemals eine Rolle.
26.07.2017, 17:50	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Etwas intuitiver. Du kannst $\begin{eqnarray} P(1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q(1) \end{eqnarray}$ zeigen, und dass $\begin{eqnarray} P(k) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q(k) \end{eqnarray}$ zusammen $\begin{eqnarray} P(k+1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q(k+1) \end{eqnarray}$ implizieren. Fuer $\begin{eqnarray} k = 1 \end{eqnarray}$ bekommen wir nach Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray} P(1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q(1) \end{eqnarray}$ wahr sind, und durch die zweite Aussage, dass $\begin{eqnarray} P(2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q(2) \end{eqnarray}$ wahr sind. Setze jetzt $\begin{eqnarray} k =2 \end{eqnarray}$ ein und damit erhalten wir, dass $\begin{eqnarray} P(3) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q(3) \end{eqnarray}$ gelten. So weiter bekommst du, dass die Aussage $\begin{eqnarray} P(n) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Q(n) \end{eqnarray}$ fuer alle $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gelten. Das ist gerade Induktion. Solange du das Muster durchfuehren kannst, ist es legitim.

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