Potenzreihenentwicklung eines Quotienten von Besselfunktionen (Quotient aus Summen)

27.07.2017, 10:59	Ricel	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihenentwicklung eines Quotienten von Besselfunktionen (Quotient aus Summen) Meine Frage: Liebe Forengemeinde, dies ist meine erste Frage im Matheboard, ich bitte also um Nachsicht . Kommen wir zu meinem Problem: In einer alten Arbeit bin ich auf auf eine Funktion f(x) gestoßen, die u. A. aus einem Quotienten von Bessel-Funktionen erster Art und nullter bzw. erster Ordnung besteht: $\begin{eqnarray} f(x) = ix \frac{J_0(ix)}{J_1(ix)} \end{eqnarray}$ In der Arbeit ist eine Reihenentwicklung dieser Funktion für große Argumente x angegeben, diese lautet: $\begin{eqnarray} f(x) \approx x + \frac{1}{2} + \frac{3}{8}\frac{1}{y}+\frac{3}{8}\frac{1}{y^2}+\frac{63}{128}\frac{1}{y^3}+\frac{27}{32}\frac{1}{y^4}+... \end{eqnarray}$ Der einzige Hinweis dazu, wie man dieses Ziel erreicht, ist durch die Angabe "this series can be derived from the expansions for the Bessel functions" gegeben. Ich denke mal, dass damit die Reihendarstellungen der Besselfunktionen gemeint sind. Dies führt zum folgenden Quotienten aus unendlichen Reihen: $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{\sum\nolimits_{n=0}^\infty \frac{(-\frac{1}{4})^k (ix)^{2k+1}}{k!\Gamma(1+k)}}{\sum\nolimits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^k 2^{-1-2k}(ix)^{2k+1}}{k!\Gamma(2+k)}} \end{eqnarray}$ Meine Frage nun: Wie komme ich von diesem Quotienten aus unendlichen Reihen zu der Näherungsfunktion für große x? Meine Ideen:* Stumpfes Ausrechnen von Reihengliedern und schauen, ob sich ein Trend abzeichnet, war - selbstverständlich - nicht zielführend. Da man aus Summen nicht kürzen darf, fällt mir aber auch kein weiterer Schritt ein, wie man diesen Quotienten weiter vereinfachen könnte. Stochere derzeit total im Trüben.
27.07.2017, 12:57	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzreihenentwicklung eines Quotienten von Besselfunktionen (Quotient aus Summen) Willkommen im Matheboard! Ich hab mich jetzt nicht intensiver damit beschäftigt, aber Mathworld (Gleichung 77) gibt ohne Herleitung einen Kettenbruch für $\begin{align} \frac {J_{n-1}(z)}{J_n(z)} \end{align}$ an, der dann mit der hier angegebenen Gleichung in eine unendliche Reihe umgewandelt werden kann. Vielleicht hilft's. Viele Grüße Steffen

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