Inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung

27.07.2017, 14:05

Erdnussbaer

Inhomogene Differentialgleichung 1. Ordnung

Hallo,

ich habe folgendes Problem, wir haben in der Vorlesung 2 Beispiele gerechnet und der Professor hat die Beispiele dann mittels Mathematica gelöst. Allerding müssen wir sie für die Prüfung jetzt ohne Mathematica können und ich stecke nun bei folgendes zwei Differentialgleichungen:

$\begin{eqnarray*} T'(t) = 5,4339 - 0,011* T(t) - 1,2476*10^{-11} *T(t)^4 \end{eqnarray*}$
Anfangsbedingung ist T(0) = 298

und mein zweites Beispiel
$\begin{eqnarray*} T'(t) = 0,00618 - 4,1667*10^{-4} *T(t) \end{eqnarray*}$
Anfangsbedingung T(0) = 25

Unser Professor hat uns zwar seinen Matematica Code gegeben nur kann ich damit ehrlich gesagt nicht wirklich was anfangen.

27.07.2017, 14:12

klarsoweit

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RE: inhomogene Differentialgleichung 1 Ordnung
Nehmen wir erst mal das zweite Beispiel. Das homogene Problem:

$\begin{eqnarray*} T'(t) + 4,1667*10^{-4} \cdot T(t) = 0 \end{eqnarray*}$

läßt sich sehr leicht lösen. smile

27.07.2017, 14:36

Erdnussbaer

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RE: inhomogene Differentialgleichung 1 Ordnung
Also ich hätte mal gesagt
dass
$\begin{eqnarray*} T'(t) + 4,1667*10^{-4}T(t) = 0,00628 \end{eqnarray*}$
und dann würde ich den allgemeinen Ansatz $\begin{eqnarray*} T(t)= A*e^{Bt} \end{eqnarray*}$
nehmen und dann komme ich zu
$\begin{eqnarray*} A*e^{Bt}*B + 4,1667 * 10^{-4} * Ae^{Bt} = 0,00628 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A*e^{Bt}*(B + 4,1667 * 10^{-4}) = 0,00628 \end{eqnarray*}$

und jetzt weiß ich nicht weiter weil normalerweise steht rechts immer 0 und so kommt man dann auf B aber jetzt hab ich da nen Wert und stehe ein bisschen auf der Leitung

27.07.2017, 14:53

klarsoweit

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RE: inhomogene Differentialgleichung 1 Ordnung
Deswegen hatte ich ja auch gesagt, daß du erst mal das homogene Problem $\begin{eqnarray*} T'(t) + 4,1667*10^{-4} \cdot T(t) = 0 \end{eqnarray*}$ lösen solltest.

Für das inhomogene Problem kannst du mal den Ansatz T(t) = C versuchen. smile

27.07.2017, 15:02

Erdnussbaer

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RE: inhomogene Differentialgleichung 1 Ordnung
Also die homogene Lösung des Problems ergibt dann A = 25 und $\begin{eqnarray*} B = -4,2667*10^{-4} \end{eqnarray*}$
und wie mach ich dann weiter?

27.07.2017, 15:09

klarsoweit

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RE: inhomogene Differentialgleichung 1 Ordnung
So:

Zitat:

Original von klarsoweit
Für das inhomogene Problem kannst du mal den Ansatz T(t) = C versuchen. smile

Warum schreibe ich das eigentlich? verwirrt

27.07.2017, 15:29

Erdnussbaer

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RE: inhomogene Differentialgleichung 1 Ordnung
aja ja das ist natürlich dann Blödsinn was ich vorher geschrieben habe, sorry.
Also zuerst eine Lösung für die homogene Differential gleichung suchen dass sollte dann
$\begin{eqnarray*} T(t) = A e^{-4,1667*10^{-4}*t} \end{eqnarray*}$ und diese Lösung adddiere ich dann zur spezielllen Lösung der Differentialgleichung welche $\begin{eqnarray*} T(t) = -\frac{1}{4,1667*10^{-4}}*t + 0,00628 \end{eqnarray*}$
und dann setzte ich meine Anfangsbedingung ein und erhalte $\begin{eqnarray*} A = 25 - 0,00628 \end{eqnarray*}$
und dann sollte ich eigentlich defakto fertig sein oder?

27.07.2017, 15:33

klarsoweit

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RE: inhomogene Differentialgleichung 1 Ordnung

Zitat:

Original von Erdnussbaer
zur spezielllen Lösung der Differentialgleichung welche $\begin{eqnarray*} T(t) = -\frac{1}{4,1667*10^{-4}}*t + 0,00628 \end{eqnarray*}$

Das soll eine spezielle Lösung sein? Wie bist du darauf gekommen? Zu meinem Ansatz paßt die jedenfalls nicht. unglücklich

27.07.2017, 15:45

Erdnussbaer

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RE: inhomogene Differentialgleichung 1 Ordnung
ja stimmt, mein Ansatz ist Schrott.

Also wenn ich deinen Ansatz verwende T(t) = C erhalte ich für $\begin{eqnarray*} C = \frac{0,00628}{4,1667*10^{-4}}= 15,072 \end{eqnarray*}$ und wenn ich dann meine spezielle Lösung und meine allgemieine Lösung addiere erhalte ich $\begin{eqnarray*} T(t)= 9,928 * e^{-4,1667*10^{-4}*t} + 15,072 \end{eqnarray*}$ nachdem ich dann bereits meine Anfangsbedingung eingesetzt habe?

27.07.2017, 15:52

Erdnussbaer

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RE: inhomogene Differentialgleichung 1 Ordnung
ja passt, ich hab das mit der Lösung überprüft und mit deinem Ansatz stimmt das dann mit meinem Versuch kommt nur misst raus.

Hast du auch einen Tipp für das erste Beispiel?

27.07.2017, 15:53

klarsoweit

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RE: inhomogene Differentialgleichung 1 Ordnung
Wenn wir das noch so schreiben: $\begin{eqnarray*} T(t) = 9,928 \cdot e^{-4,1667 \cdot 10^{-4} \cdot t} + 15,072 \end{eqnarray*}$ , kann ich mich damit anfreunden. Augenzwinkern

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