Länge des Normalenvektors bei der Integration

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Sito Auf diesen Beitrag antworten »
Länge des Normalenvektors bei der Integration
Guten Tag zusammen,

ich beschäftige mich gerade etwas mit der Integration im und verstehe da einiges nicht so wirklich, um genau zu sein zwei Dinge.

Angenommen ich möchte den Fluss eines Vektorfeldes durch den Rand eines Objekts berechnen, wie bestimme ich dann am besten den Normalenvektor (senkrecht zur Oberfläche).
Wenn wir als Bsp. mal und nehmen mit der Parametrisierung , dann wäre doch der Vektor senkrecht zu . Das scheint aber nicht der gesuchte Vektor zu sein, sondern . Ich verstehe jetzt aber nicht wie man auf diesen Vektor kommen soll, wenn es nicht gerade so offensichtlich ist wie hier und wieso genau nicht Länge eins haben muss.


Der zweite Punkt den ich momentan noch nicht ganz durchblickt habe ist: Wenn ich einen Koordinatenwechsel durchführe, von sagen wir mal kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten, so muss ich bei der Berechnung eines Volumens z.B. den Integranden mit der Jacobi-Determinante multiplizieren, wenn ich nun aber bei einem Flussintegral so eine Koordinatentransfo. mache muss ich das nicht. Wieso? Und wie weiss ich denn jetzt wann genau ich die Jacobi-Det. brauche und wann nicht?

Besten Dank schon mal im Voraus.
Gruss Sito
PWM Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Länge des Normalenvektors bei der Integration
Hallo,

"Normalenvektor" bedeutet ja zunächst nur, dass der Vektor senkrecht auf der Fläche steht. Dementsprechend ist der Normalenvektor nur bis auf Normierung und Orientierung festgelegt. Eine Formel für einen Normalenvektor (bei einer Fläche im R^3) ist bei einer Parametrisierung durch



Die genaue Verwendung hängt jetzt von Eurer Defintion des Fluss Integrals ab. Vielleicht schreibst Du die mal hierhin.

Gruß pwm
Sito Auf diesen Beitrag antworten »

Also unsere Definition lautet:

Sei eine orientierbare Fläche, sei eine orientierte Parametrisierung von und seinen Karten für diese Parametrisierung. Sei eine offene Menge und sei ein stetiges Vektorfeld auf . Dann definieren wir das Flussintegral von über durch .
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sito
Also unsere Definition lautet:

Sei eine orientierbare Fläche, sei eine orientierte Parametrisierung von und seinen Karten für diese Parametrisierung. Sei eine offene Menge und sei ein stetiges Vektorfeld auf . Dann definieren wir das Flussintegral von über durch .
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