Stabilität von Differentialgleichungssystem

28.07.2017, 12:04	goalkeeper	Auf diesen Beitrag antworten »
Stabilität von Differentialgleichungssystem Meine Frage: Hallo, ich beschäftige mich gerade mit folgender Aufgabe: Gegeben sei das Differentialgleichungssystem $\begin{eqnarray} y'\left(t\right) =\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}y\left(t\right) \end{eqnarray}$ a) Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem für dieses Differentialgleichungssystem. b) Bestimmen Sie die Lösung dieses Differentialgleichungssystems mit dem Anfangswert $\begin{eqnarray} y\left(0\right) =\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ c) Ist die Nullösung für dieses Differentialgleichungssystem stabil? Meine Ideen: Bei Aufgabe a) bekomme ich: $\begin{eqnarray} M=\left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\ t \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ e^{-t} \\ e^{t} \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ Als Lösung für die b) habe ich: $\begin{eqnarray} y\left(t\right) =\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} 1 \\ t \\ 0 \end{pmatrix} +e^{-t}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bei der c) würde ich sagen, dass das Differentialgleichungssystem stabil ist, da für alle Eigenwerte $\begin{eqnarray} Re\left(\lambda\right) \leq 0 \end{eqnarray}$ gilt. In der Uni haben wir dafür allerdings eine andere Lösung aufgeschrieben. Wir kamen darauf, dass die Nulllösung nicht stabil ist. Der Dozent hat dafür folgenden Ansatz verwendet: $\begin{eqnarray} y\left(0\right)=\begin{pmatrix} \epsilon \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das verstehe ich leider überhaupt nicht. Ich dachte immer, dass für die Stabilität reicht, wenn die Realteile der Eigenwerte kleiner oder gleich null sind. Gibt es da Ausnahmen?
28.07.2017, 13:01	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein System heisst stabil, wenn $\begin{eqnarray} y(t) \to 0 \end{eqnarray}$ fuer $\begin{eqnarray} t\to\infty \end{eqnarray}$ konvergiert, unabhaengig von der Wahl des Anfangswertes $\begin{eqnarray} y_0 \end{eqnarray}$ . Man hat hier einen Anfangswert gegeben, fuer das die Loesung es nicht erfuellt. Also ist es nicht stabil. Zu Eigenwerten und allgemeiner Theorie kann ich gerade nichts sagen. Ausser, dass es sicher nicht stimmt. Kann es sein, dass du Voraussetzungen unterschlagen hast?
28.07.2017, 13:56	goalkeeper	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst mal danke für deine Antwort! Ist das nicht die Definition für asymptotisch stabil? Ich habe mich dabei am Repetitorium - Gewöhnliche Differentialgleichungen von Timmann orientiert. Dort steht: Die Nullfunktion ist genau dann stabile Lösung des homogenen Systems, wenn alle Lösungen für $\begin{eqnarray} t\rightarrow \infty \end{eqnarray}$ beschränkt bleiben. Dies gilt genau dann, wenn i) Alle Eigenwerte von A (also von der gegebenen Matrix) haben Realteil $\begin{eqnarray} Re\lambda \leq 0 \end{eqnarray}$ und ii) ... (hat mit imaginären Eigenwerten zu tun)
28.07.2017, 14:02	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt mehrere `Stabilitaetsbegriffe'. Das habe ich eben unter `neutral stabil' gefunden. Jedenfalls ist die Loesung von $\begin{eqnarray} y(0) = (1, 0,0) \end{eqnarray}$ (z.B.) nicht beschraenkt, wenn dein Fundamentalsystem stimmt. Allerdings sagt Wolfram Alpha, dass die Eigenwerte tatsaechlich nicht-positiv sind. Kann es sein, dass stabil aequivalent dazu ist, dass sowohl (i) als auch (ii) gelten? So ist (i) hier erfuellt, aber (ii) koennte verletzt sein.
28.07.2017, 14:37	goalkeeper	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Argument, mit der Nicht-Beschränktheit verstehe ich. Hatte mich eben nur gewundert, dass es diesmal nicht mit den Eigenwerten klappt, da ich bei vielen anderen Aufgaben noch nie Probleme damit hatte... unter ii) steht nur: ist $\begin{eqnarray} \lambda =i\beta \end{eqnarray}$ ein Eigenwert mit Realteil 0 und Vielfachheit $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ , so existerien $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ linear unabhängige Eigenvektoren zu diesem Eigenwert.
28.07.2017, 14:52	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stabilität von Differentialgleichungssystem Habe etwas geguckt: Skript. In dem Skript 4.6 ist ein entsprechender Satz. Dieses will aber, dass die Eigenwerte mit 0 genug Eigenvektoren haben. Aber da die algebraische Vielfachheit von 0 hier 1 ist, ist das automatisch erfuellt. Irgendwas uebersehen wir hier, ich weiss bloss nicht was Edit: Das war es. Ich habe Wolfram Alpha falsch verstanden. Wolfram Alpha. Hier sieht man, dass der Jordanblock zur 0 zweidimensional ist. Nicht wie gefordert eindimensional. Es gibt zu wenig Eigenvektoren zur 0
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28.07.2017, 15:11	goalkeeper	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stabilität von Differentialgleichungssystem Ach ok, ja, das stimmt! Vieeeelen Dank! Du hast mir sehr geholfen, jetzt habe ich es verstanden!

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