Sind die Polynome linear abhängig?

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Polyfrag Auf diesen Beitrag antworten »
Sind die Polynome linear abhängig?
Meine Frage:
Ich habe folgende 3 Polynome:
p1(x) = 3
p2(x) = 1 + x
p3(x) = 3x + 2

Ich soll jetzt zeigen ob diese Linear Abhängig sind.
Ich schätze damit ist es nicht getan oder?

Meine Ideen:
3 + 1+x = 3x+2
umstellen nach x liefert x = 2 als Ergebnis. Ist es damit getan? Bzw. Was wäre dann unabhängig? Wenn x = 0 wäre oder da gar eine Lösung 1=2 rauskommt?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind die Polynome Linear Abhängig?
Zitat:
Original von Polyfrag
Meine Ideen:
3 + 1+x = 3x+2
umstellen nach x liefert x = 2 als Ergebnis. Ist es damit getan?

So geht es natürlich nicht. Wie sieht denn üblicherweise eine Linearkombination aus? Und wann sind die Vektoren in einer Linearkombination linear abhängig?
Polyfrag Auf diesen Beitrag antworten »

Üblicherweise in der Art:

x1*a1 + ... + xn * an 0

Dementsprechend:

x1*3 + x2*(1+x) + x3*(3x+2) 0

Ich vermute mal das das nicht so ganz richtig ausschaut? Zumindest wüsste ich nicht genau wie man mit einer Gleichung und so vielen Unbekannten was interessantes rauskriegt.

Vielleicht dann eher so?
a * 0

Dann bekäme man hier
3 0 raus
x 1 raus und
x -2/3

Frage wäre dann nur ob man so eine "Gleichung" (eher ungleichung?) aufstellen darf. Würde man das als Gleichung mit = 0 aufschreiben, käme da allerdings x=1 und x=-2/3 (und natürlich 3=0) raus
Polyfrag Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir unglaublich Leid ich hab grade absoluten blödsinn geschrieben.

Fangen wir nochmal an.

x1*a1 + ... + xn*an = 0
Mindestens einer der Koeffizienten ist ungleich 0.
Also

x1*3 + x2*(1+x) + x3*(3x+2) = 0

Soweit korrigier ich erstmal (hoffentlich richtig. Was ne Scham der Post vorhin von mir)
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Ich mische mich kurz ein:

Stichworte Polynome und Vektoren lassen sich verbinden.

Betrachten wir ein beliebiges Polynom vom Grad n nun werfen wir einfach mal die "Basis" weg und notieren die Koeffizienten in einem Tupel: siehst du nun eine Ähnlichkeit zum Vektor? smile

Nun kannst du das transferieren:
Du hast also als Vektoren

Nun musst du noch prüfen, ob die Vektoren linear (un)abhängig sind. Was kennst du dafür?

Stichworte:
1) Matrix, Determinante
2) GLS, Lösbarkeit
3) Linearkombination
4) ...

Wie dir selber schon aufgefallen ist, gibt es in deinem Weg Widersprüche. Die Mathematik ist jedoch (meistens) Widerspruchsfrei Augenzwinkern


Edit: eben deinen zweiten Beitrag gesehen, so kannst du auch vorgehen. Aber wie? Augenzwinkern Du brauchst ja nun eindeutige(!) Lösungen für x1.x2 und x3. Was würde als Umfornungsschritte Sinn ergeben? Hinweis, sortiere nach Potenzen von x. Führe einen Koeffizientenvergleich* durch.

*bedeutet tatsächlich genau das, was da steht. Du vergleichs Koeffizienten: a+bx = c+dx => a=c und b=d.
Polyfrag Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem Koeffizientenvergleich ist etwas was ich mich vorher anschauen müsste, deswegen nehm ich dein Weg (Danke auch für den Hinweis das man es so aufschreiben darf).

Nun der leichteste Weg um zu bestimmen ob es Linear (un)abhängig ist, wäre für mich der Weg mit der Determinante. Deswegen hier meine Frage, dürfte ich auch x^2 dazu nehmen, Sprich eine 3x3 Matrix machen um die Determinante zu bestimmen? Damit wäre sofort gezeigt das es Linear Abhängig ist.

Ein anderer Weg könnte ein Gleichungssystem.
3a + b + 2c = 0
0 + b + 3c = 0
c = t
b = -3t
a = t/3

wäre hier aber noch sehr ungenau, selbst für mich Big Laugh Sitze also vor ner Wand
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

im Hinblick auf später würde ich immer zum Kern des Problems vorstoßen. Du hast ein homogenes LGS in a,b,c.
Das ist immer trivial lösbar: a=b=c =0 smile

Linear abhängig sind die Vektoren wenn es eine nichttriviale Lösung gibt.
Das ist der Fall wenn der Rang (= Anzahl lin. unabhängger Zeilenvektoren ) der Koeffizientenmatrix kleiner als ( hier ) 3 ist.
Das überprüft man mit der Gauß Algorithmus.

Das Ergebnis ist 2. Demnach ist das System nichttrivial lösbar. Punkt und Ende.

-------------------------------------------------------

Mach es möglichst immer so.

edit: irgendeine Lösung - so wie von dir berechnet - ist nicht gefordert. Augenzwinkern
Polyfrag Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank.

Ärgerlich, ich hatte das Ergebnis bereits aufgeschrieben aber war einfach zu stark drauf aus irgendwelche Unbekannten zu finden, weil ich dachte so ist der Ultimative Beweis. Dabei ist es doch so simpel. Zuviel Energie in das falsche gesteckt.

Nochmals danke.

Bei solchen Sachen wie "Zeige dieses, beweise jenes" sollte ich mir eindeutig dein Rat zu Herzen nehmen.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

natürlich ist das simpel. Selbst die Rechnung könnte man sich schenken da eine zweizeilige Matrix nicht den Rang 3 haben kann.
Aber zur Übung müssen auch solche simplen Aufgaben sauber beantwortet werden.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
natürlich ist das simpel. Selbst die Rechnung könnte man sich schenken da eine zweizeilige Matrix nicht den Rang 3 haben kann.
Aber zur Übung müssen auch solche simplen Aufgaben sauber beantwortet werden.

Da gebe ich dir vollkommen recht. Diese Aufgaben dienen nur dem Verständnis. Du kannst dem Tutor auch mehrere Lösungsvorschläge unterbreiten. Je nach (ich lehne mich mal aus dem Fenster Big Laugh ) Qualität des Tutors, korrigiert er alle, bewertet aber nur den ersten. Ein Tutorium soll DIR dienen, dein Wissen anzuwenden und neues zu lernen, auch um Fragen zu stellen und Antworten zu erhalten ist es da. Dein Tutor ist bei Problemen dein erster Ansprechpartner. Viele vergessen diese Bürde eines Tutoriums und sehen es als "aufwändige Arbeit" an.

Zurück zu deinem Problem:
Mathematik wird selten in theoretischer Weise angewandt. Wenn du in der Forschung bei irgend einem Unternehmen steckst, wird ein Ziel der praktischen Relevanz gefordert. Bei der Uni ist das nicht so stark ausgeprägt, aber auch die wollen am Ende damit Geld verdienen Augenzwinkern
Auf Computern (die häufigste Anwendung von Mathematik) werden in Computer-Algebra-System eher selten Funktionen notiert, wie "f(x)=x^3+1". Im Speicher wird der String nicht hinterlegt. Viel mehr nimmt man die Koeffizienten und passt den Eintragsbereich der erwarteten Größe an:
Beispiel auf einem 32-Bit System. 32 Bit bedeuten, dass die Zahl speicherbar ist. Solche werden als Integer bezeichnet. Man initialisiert dann einen Array, der solche Zahlen speichern muss, anstelle eines Polynoms. Der Grad des Polynoms bestimmt die Größe des Arrays: ax^3+bx^2+cx+d ist ein Polynom vom Grad 3, Speicherung ist dann [a,b,c,d] ein 4-dimensionales Array.

Wo hat sowas Relevanz? Algorithmen zur Ver- und Entschlüsselung brauchen große Zahlen, d.h. RSA ~ . Speicher sowas mal Big Laugh Da denkt man sich dann eine schlaue Basis aus, und zerlegt die Zahl in eine Summe, ähnlich eines Polynoms. Man halbiert aber den Wertebereich jedes Koeffizienten. Auf 32-Bit bedeutet das, dass man die Zahl mit 4096 Bit zur Basis darstellt und die Koeffizienten dieses Gleichungssystems in einen Array schreibt. Warum macht man das so klein? Damit Summe und Produkt nicht die maximalen 32-Bit überschreiten und du einen Error erhälst. Man rechnet dann mit Überträgen usw. Also alles reine lineare Algebra smile
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ist das nicht ziemlich groß?

Ich dachte bisher, dass ungefähr 100 bis 150 Ziffern für RSA im kommerziellen Bereich ausreichen verwirrt
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