Existenz einer minimalen Überdeckung

28.07.2017, 18:56	mamu	Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz einer minimalen Überdeckung Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ eine Menge und $\begin{eqnarray} (U_i)_{i\in I} \end{eqnarray}$ eine Überdeckung von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ . Gibt es immer eine Teilüberdeckung $\begin{eqnarray} (U_j)_{j\in J\subseteq I} \end{eqnarray}$ , sodass diese minimal ist in dem Sinn, dass sie bei Wegnahme einer beliebigen Menge die Überdeckungseigenschaft verliert, d.h. gibt es für jedes $\begin{eqnarray} U_k \end{eqnarray}$ in der Teilüberdeckung ein $\begin{eqnarray} p_k\in U_k \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} p_k\notin U_j \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} j\neq k \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: Man muss Mengen "rauswerfen", die schon von den übrigen Mengen überdeckt werden. Wie komme ich aber dabei auf einen schönen endlichen Beweis (falls es einen gibt)?
28.07.2017, 19:00	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aussage ist falsch. Betrachte $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ als die reellen Zahlen und $\begin{eqnarray} U_i = (-i, i) \end{eqnarray}$ Intervalle. In dem Fall gibt es keine minimale Teilueberdeckung.
28.07.2017, 19:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ wird überdeckt von endlichen Abschnitten $\begin{eqnarray} \{1,...,n\} \end{eqnarray}$ . Eine minimale Teilüberdeckung gibt es nicht.
28.07.2017, 19:21	mamu	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, das ging ja schnell! - Ich glaube, dass ich mich bei der Frage irgendwie vertan habe. Was ist eigentlich, wenn keins der $\begin{eqnarray} U_j \end{eqnarray}$ in einem anderen enthalten sein darf? Ich denke jetzt nochmal nach.
28.07.2017, 20:05	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann koennte man $\begin{eqnarray} M = (0, + \infty) \end{eqnarray}$ nehmen und $\begin{eqnarray} U_i = (1-\frac 1 i, i) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} i = 1,2,3, \ldots \end{eqnarray}$ . Ist effektiv das gleiche Problem wie eben, bloss hat man die Mengen alle etwas nach rechts verschoben, damit die nicht komplett ineinander enthalten sind.
28.07.2017, 21:02	mamu	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön , darauf bin ich (so ähnlich) gerade tatsächlich auch gekommen. Gibt es vielleicht eine hübsche Bedingung, wann es so eine minimale Teilüberdeckung gibt, denn manchmal gibt es die ja? - Bestimmt gibt es eine, jedenfalls hat sich mein ursprüngliches Problem gelöst. Vielen Dank nochmal!
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29.07.2017, 05:54	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz einer minimalen Überdeckung Das einfachste waere M kompakt und die Ueberdeckung offen. Aber das ist ziemlich restriktiv. Da aber $\begin{eqnarray} (0, \infty) \end{eqnarray}$ homöomorph auf $\begin{eqnarray} (0,1) \end{eqnarray}$ abgebildet werden kann, so kann die Bedingung nicht deutlich schwaecher sein. So ist $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ offen und beschraenkt nicht ausreichend, selbst wenn die Ueberdeckung offen ist.

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