Doppelt partielle Integration - Kann Rechnung nicht verstehen

29.07.2017, 15:54

al3ko

Doppelt partielle Integration - Kann Rechnung nicht verstehen

Hi,
ich lese mich gerade in das Thema "Pulse Width Modulation for Power Converters" von Prof. Grahame Holmes ein. Dabei gibt es eine Rechnung, die ich gerne nachvollziehen möchte, komme jedoch auf andere Ergebnisse.

Mag einer bitte meine Rechnung überprüfen, ob ich etwas gravierend falsch mache oder etwas übersehen habe?

Der Auszug aus dem Buch sowie meine Rechnung befinden sich als Dateianhänge.

Ich bezweilfe, dass mein Ergebnis stimmt, denn für n=1 erhalte ich eine Division durch 0. Dabei sollte aber 1 herauskommen.

Vielen Dank, und schöne Grüße,
al3ko

29.07.2017, 20:57

Leopold

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Bis Nr. 6 scheint es mir richtig zu sein. Die rechte Seite in Nr. 6 ist aber 0. Für gerade $\begin{align*} n \end{align*}$ ergibt sich nämlich $\begin{align*} -1+1 = 0 \end{align*}$ , und für ungerade $\begin{align*} -(-1) + (-1) = 0 \end{align*}$ . Damit wird Nr. 6 zu

$\begin{align*} \left( 1 - n^2 \right) \int_{- \pi}^{\pi} \cos(y) \operatorname{e}^{\operatorname{j}\!ny} ~ \dd y = 0 \end{align*}$

Im Falle $\begin{align*} n \neq 1 \end{align*}$ kannst du daraus schließen, daß der Integralwert 0 ist. Und im Falle $\begin{align*} n=1 \end{align*}$ steht da

$\begin{align*} 0 \cdot \text{Integral} = 0 \end{align*}$

was zweifellos richtig ist, dir aber nichts bringt. Für $\begin{align*} n=1 \end{align*}$ hast du dich mit deiner Umformung sozusagen im Kreis gedreht.

Es war vielleicht doch nicht so geschickt, mit $\begin{align*} a \end{align*}$ statt $\begin{align*} \operatorname{j}n \end{align*}$ zu arbeiten. Dadurch hast du übersehen, daß du von Nr. 6 auf Nr. 7 durch 0 dividiert hast, was bekanntermaßen verboten ist. Ferner ist dir deshalb auch verborgen geblieben, daß in Nr. 6 die rechte Seite 0 ist.

02.08.2017, 21:07

al3ko

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Hi Leopold,
danke für deine Rückmeldung. Ich komme erst jetzt wieder dazu, mich mit dem Thema zu beschäftigen.

Zitat:

Original von Leopold
Bis Nr. 6 scheint es mir richtig zu sein.

Das freut mich zu hören Freude

Zitat:

Original von LeopoldUnd im Falle $\begin{align*} n=1 \end{align*}$ steht da

$\begin{align*} 0 \cdot \text{Integral} = 0 \end{align*}$

was zweifellos richtig ist, dir aber nichts bringt.

Hmm, aber ist das nicht widersprüchlich zum Textausschnitt?
"The integral within the curly brackets is zero except for the case where n=1..."

Oder anders gefragt:
Wie kommt man von Gleichung 3.17 auf Gleichung 3.18?
Das gilt für den Fall m=0 und n=1.

Irgendwie stehe ich gerade auf dem Schlauch.

Gruß,

02.08.2017, 22:12

HAL 9000

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Zitat:

Original von al3ko
Hmm, aber ist das nicht widersprüchlich zum Textausschnitt?

Wo siehst du denn da einen Widerspruch? Erstaunt1

Zitat:

Original von al3ko
Wie kommt man von Gleichung 3.17 auf Gleichung 3.18?

Man rechnet das Integral für $\begin{align*} n=1 \end{align*}$ einfach direkt aus:

$\begin{align*} \int\limits_{-\pi}^{\pi} \cos(y) (\cos(y)+j\sin(y)) ~ \dd y = \int\limits_{-\pi}^{\pi} (\cos^2(y)+j\sin(y)\cos(y)) ~ \dd y = \frac{1}{2}\int\limits_{-\pi}^{\pi} (1+\cos(2y)+j\sin(2y)) ~ \dd y = \frac{1}{4} \Big[2y+\sin(2y)-j\cos(2y) \Big]_{-\pi}^{\pi} = \pi \end{align*}$ .

02.08.2017, 22:31

Leopold

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(Beim Verfassen meines Beitrags stelle ich fest, daß HAL 9000 schon geantwortet hat. Weil mein Beitrag aber einen weiteren Hinweis enthält, sende ich ihn dennoch ab.)

Ich kann keinen Widerspruch erkennen. Irgendwie scheinst du aus $\begin{align*} 0 \cdot \text{Integral} = 0 \end{align*}$ die Folgerung $\begin{align*} \text{Integral} = 0 \end{align*}$ zu ziehen. Das geht natürlich nicht. Einmal gründlich drüber nachdenken:

$\begin{align*} 0 \cdot 1 = 0 \, , \ \ 0 \cdot 2017 = 0 \, , \ \ 0 \cdot (-12345{,}6789) = 0 \end{align*}$

Nimm ruhig deinen Weg und rechne das Integral für $\begin{align*} n=1 \end{align*}$ aus. Das ist nicht schwer:

$\begin{align*} \int_{- \pi}^{\pi} \cos(y) \operatorname{e}^{\operatorname{j} \! y} ~ \dd y = \int_{- \pi}^{\pi} \frac{1}{2} \left( \operatorname{e}^{\operatorname{j} \! y} + \operatorname{e}^{-\operatorname{j} \! y} \right) \cdot \operatorname{e}^{\operatorname{j} \! y} ~ \dd y = \frac{1}{2} \int_{- \pi}^{\pi} \left( 1 + \operatorname{e}^{2 \operatorname{j} y} \right) ~ \dd y \end{align*}$

Und für $\begin{align*} n \neq 1 \end{align*}$ kannst du mit deiner Methode zeigen, daß der Integralwert 0 ist. Das steht ja schon in meinem vorigen Beitrag.

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