Notwendige Bedingung für Reihen unnötig?

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29.07.2017, 23:19	mister_xyz	Auf diesen Beitrag antworten »
Notwendige Bedingung für Reihen unnötig? Meine Frage: Ist die notwendige Bedingung für Reihenkonvergenz wirklich notwendig? Wenn ich eine Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \end{eqnarray}$ habe und das Wurzelkriterium, bzw. Quotientenkriterium funktioniert, d.h. ich kann nachweisen, daß $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n} }<1 \end{eqnarray}$ , bzw. daß $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} }{a_{n}}<1 \end{eqnarray}$ tatsächlich existiert, dann kann doch $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ nur noch Nullfolge sein, oder etwa nicht? Umgekehrt: Ist $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_{n} }>1 \end{eqnarray}$ , bzw. daß $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} }{a_{n}}>1 \end{eqnarray}$ , dann kann doch $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ niemals eine Nullfolge sein, oder irre ich mich da? Liege ich hier falsch, oder kann man sich eigentlich die notwendige Bedingung ersparen? Meine Ideen: Wenn die hinreichenden Reihen-Konvergenzbedingungen "klappen", dann kann $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ nur Nullfolge sein; klappen sie nicht, kann doch $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ niemals eine Nullfolge sein, oder liege ich da falsch? Die Idee kam mir bei der Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{2^{n}\cdot n!^{2} } \end{eqnarray}$ , wo ich keine Ahnung hatte wie ich da nachweisen soll, daß $\begin{eqnarray} \frac{(2n)!}{2^{n} \cdot n!^{2} } \end{eqnarray}$ eine Nullfolge ist. Das Quotientenkriterium ergab als Limes 2, also >1, also Divergenz. Dann dachte ich mir: Dann kann doch $\begin{eqnarray} \frac{(2n)!}{2^{n} \cdot n!^{2} } \end{eqnarray}$ niemals Nullfolge sein.....oder etwa doch??
29.07.2017, 23:47	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du scheinst mit den Begriffen notwendig und hinreichend noch nicht hinreichend vertraut zu sein. Ein notwendiges Kriterium muss zwingend erfüllt sein, damit eine bestimmte Aussage zutreffen kann. Es schränkt also nur die Möglichkeiten ein. Ein hinreichendes Kriterium ist eine Vorraussetzung, die das Zutreffen einer Aussage zwangsläufig nach sich zieht. Denk mal an die Extremwerte aus der Analysis. Hier ist es zwingend notwendig, dass die erste Ableitung Null wird. Nicht jede Stelle mit einer Ableitung Null ist aber auch eine Extremstelle. Weisst Du hingegen, dass die Ableitung Null ist und die zweite ungleich Null, dann liegt ein lokales Extrem vor. Nicht jedes Extrem muss aber diese Bedingung erfüllen. Es ist also nur hinreichend, aber nicht notwendig. Was bedeutet das nun für die Reihen? Ein Grenzwert von Null ist notwendig, aber nicht hinreichend (siehe z.B. harmonische Reihe). Trifft aber eins der hinreichenden Bedingungen zu, dann ist die Reihe konvergent und somit zwangsläufig auch der Grenzwert der Summanden gleich Null. Du kannst mit dem notwendigen Kriterium also eine Menge von Reihen als divergent identifizieren ohne Dir die Mühe zu machen das Quotienten- oder Wurzelkriterium zu überprüfen.
30.07.2017, 00:09	mister_xyz	Auf diesen Beitrag antworten »
1.) Dann stelle ich die konkrete Frage: Wie kann man, bzw. wie kannst du (als notwendige Bedingung) in dem gegebenen Beispiel die Nullfolge nachweisen? Ich habe das nicht geschafft. 2.)Die Frage ist, ob ich mir Arbeit "ersparen" kann. Bis jetzt sind ja immer 2 Schritte notwendig: Zuerst schauen, ob es sich um eine Nullfolge handelt: #Nein=>Die Reihe kann nicht konvergieren, also brauche ich keine hinreichende Bedingung (Wurzelkriterium, Quotientenkriterium o.ä.) untersuchen, habe also nur 1x (in Worten: einmal) Arbeit. #Ja=> Die Reihe könnte konvergieren, also untersuche ich die hinreichende Bedingung und je nachdem was herauskommt Konvergenz oder Divergenz. Insgesamt habe ich aber 2x (in Worten zweimal) Arbeit. #Wenn ich aber gleich die hinreichende Bedingung mache (ohne die notwendige durchzuführen) und es kommt irgendein Limeswert >1 heraus (also Divergenz), stellt sich für mich die Frage: Kann dann "an" noch Nullfolge sein? Meines Erachtens nein. Kommt jedoch als Limeswert <1 heraus (also Konvergenz), dann kann doch "an" nur noch Nullfolge sein oder? Also brauche ich die Frage der Nullfolge gar nicht mehr zu untersuchen, weil klar ist (?), daß das eine Nullfolge sein muß, oder? Jedenfalls hätte ich dann nur 1x (in Worten einmal) Arbeit.
30.07.2017, 01:25	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Anscheinend war es in obigen Posting noch nicht deutlich genug: Mit einem notwendigen Kriterium kannst Du nichts beweisen, sondern nur widerlegen. Mit einem hinreichenden Kriterium kannst Du zwar etwas nachweisen, aber eben nur wenn es wirklich zutrifft. Du sagst, man müsse auf jeden Fall das notwendige Kriterium prüfen. Dann stellt sich mir die Frage wer Dich dazu zwingt? Wenn Du es nicht prüfen willst, dann lass es halt weg. Wie eben schon gesagt ist es nur eine Hilfestellung, die möglicherweise eine Menge Arbeit erspart. Das Quotientenkriterium liefert für $\begin{eqnarray} q \neq 1 \end{eqnarray}$ eine klare Aussage über Konvergenz oder Divergenz. Es ist also eine hinreichende Bedingung für Konvergent und Divergenz gleichzeitig. Problematisch wird es aber, wenn q=1.
30.07.2017, 12:28	mister_xyz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich behaupte gerade das Gegenteil: Ich behaupte, man muß gerade NICHT die notwendige Bedingung prüfen. (Und ich will wissen, ob diese Behauptung korrekt ist). Angenommen ich habe eine unendliche Reihe auf Konvergenz/Divergenz zu überprüfen. Wenn der Limes =1 ist, habe ich natürlich ein Problem. Aber den Fall Limes=1 lassen wir mal aus. Situation 1: Angenommen, ich mache NUR die hinreichende Bedingung (Wurzelkriterium, Quotientenkriterium o.ä.) und die geht auf, d.h. ich kann einen Limes <1 nachweisen. Frage: Kann ich dann nicht einfach: "Fertig", sagen? Jetzt könnte ja ein Korrektor/Matheprofessor einwenden: "Sie haben die notwendige Bedingung der Frage der Nullfolge nicht untersucht!" Jetzt verteidige ich mich und sage: "Die brauche ich nicht mehr, weil dadurch, daß ich den Limes <1 durch Wurzelkriterium, Quotientenkriterium o.ä. nachgewiesen habe, ist die Nullfolge automatisch 'drinnen', d.h. 'automatisch mitbewiesen'." Ist diese Argumentation mathematisch korrekt? Situation 2: Angenommen, ich mache NUR die hinreichende Bedingung (Wurzelkriterium, Quotientenkriterium o.ä.) und ich kann NUR einen Limes >1 nachweisen, also Divergenz. Frage: Kann ich dann nicht einfach: "Fertig", sagen? Jetzt könnte ja ein Korrektor/Matheprofessor einwenden: "Sie haben die notwendige Bedingung der Frage der Nullfolge nicht untersucht!" Jetzt verteidige ich mich und sage: "Die brauche ich nicht mehr, weil dadurch, daß ich den Limes >1 durch Wurzelkriterium, Quotientenkriterium o.ä. nachgewiesen habe, kann es sich nicht mehr um eine Nullfolge handeln." Ist diese Argumentation mathematisch korrekt?
30.07.2017, 13:54	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
zur Logik: Implikationen setzen wahre Aussagen voraus. Wenn .... dann... Aus einer wahren hinreichenden Bedingung folgt die wahre notwendige Bedingung. Aus einer falschen hinreichenden Bedingung folgt gar nichts. Aber: aus einer falschen notwendigen Bedingung folgt die falsche hinreichenden Bedingung. Man nennet das Kontraposition $\begin{eqnarray} H\Rightarrow N\Leftrightarrow \lnot N \Rightarrow \lnot H \end{eqnarray}$ manchmal besteht die hinreichende Bedingung aus einem Zusatz zur notwendigen Bedingung. Der Zusatz allein ist nichtssagend. Beispiel von oben: $\begin{eqnarray} \underbrace {f'=0 \,\text{( notwendige Bedingung)}\land f''\neq 0}_{\text{hinreichende Bedingung}} \end{eqnarray}$ als alleinige hinreichende Bedingung bietet sich "f' = 0 mit VZW" an
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30.07.2017, 14:06	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube es liegt hier ein Missverständnis vor. Das notwendige Kriterium muss erfüllt sein, damit eine Reihe konvergieren kann, anders geht es nicht. Das heißt aber nicht, dass man das Kriterium auch nachprüfen muss! Es kann auch erfüllt sein, ohne dass es nachgeprüft wurde. Selbstverständlich brauchst du es nicht mehr nachprüfen, wenn du schon ein hinreichendes Kriterium überprüft hast, dann ist das notwendige Kriterium automatisch auch erfüllt, selbst wenn du es nicht überprüft hast.
30.07.2017, 16:54	mister_xyz	Auf diesen Beitrag antworten »
#Das ist eigentlich genau die Antwort nach der ich gesucht habe. Wenn das hinreichende Kriterium (also Quotientenkriterium, Wurzelkriterium o.ä.) klappt, d.h. einen Limes <1 hervorbringt, ist $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ automatisch Nullfolge, d.h. ich brauche die Frage der Nullfolge nicht mehr zu eruierern. Richtig? #Was ist aber im umgekehrten Fall?: Wenn das hinreichende Kriterium (also Quotientenkriterium, Wurzelkriterium o.ä.) einen Limes >1 hervorbringt, ist $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ automatisch keine Nullfolge, richtig? #Die ganze Idee kam mir, weil ich die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{(2n)!}{2^{n}\cdot n!^{2} } \end{eqnarray}$ auf Konvergenz/Divergenz untersuche und das Quotientenkriterium ergab 2, was ja größer als 1 ist (2>1), also Divergenz. Das heißt ich brauche jetzt nicht mehr den Grenzwert von $\begin{eqnarray} \frac{(2n)!}{2^{n}\cdot n!^{2} } \end{eqnarray}$ zu eruieren, weil ich jetzt automatisch weiß, daß dieser niemals 0 sein kann, richtig? Diese ganze Frage habe ich eigentlich nur deshalb erstellt, weil ich um ehrlich zu sein gar nicht weiß, wie man den Grenzwert von $\begin{eqnarray} \frac{(2n)!}{2^{n}\cdot n!^{2} } \end{eqnarray}$ herausfinden soll!!?! .....könnte da vielleicht jemand den mal bitte rausfinden? Jedenfalls ist er doch nicht 0, oder?
30.07.2017, 17:01	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn der Grenzwert im Quotienten- oder Wurzelkriterium existiert und größer als $\begin{align} 1 \end{align}$ ist, kann die Folge automatisch keine Nullfolge sein. Das ist aber eine Spezialität dieser bestimmten Kriterien und folgt nicht allein daraus, dass das Kriterium besagt, dass die Reihe in diesem Fall divergiert. Im Allgemeinen kann Divergenz der Reihe vorliegen, obwohl die summierte Folge gegen Null konvergiert. Diese beiden Kriterien besagen aber noch mehr. In diesem Fall muss der Betrag der betrachteten Folge gegen unendlich divergieren. Und da deine Folge positiv ist, kennst du dadurch den (uneigentlichen) Grenzwert.
30.07.2017, 18:23	mister_xyz	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Damit ist die Frage beantwortet. Wenn ich dich übrigens richtig verstehe gilt im vorliegenden Fall: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \frac{(2n)!}{2^{n}\cdot n!^{2} }= \infty \end{eqnarray}$ ? Wie "siehst" du das? Ich habe das nicht sofort "gesehen".
30.07.2017, 19:05	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt, das folgt daraus, dass der Grenzwert im Quotientenkriterium existiert und größer als 1 ist. Du kannst ja mal versuchen, zu beweisen, dass daraus die uneigentliche Konvergenz der Beträge folgt.
30.07.2017, 22:27	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist übrigens $\begin{align} \lim_{n\to\infty} \sqrt{n}\frac{(2n)!}{4^n\cdot (n!)^2} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \end{align}$ (siehe Wallissches Produkt), damit verhält sich $\begin{align} \frac{(2n)!}{2^n\cdot (n!)^2} \end{align}$ für große $\begin{align} n \end{align}$ ungefähr wie $\begin{align} \frac{2^n}{\sqrt{\pi n}} \end{align}$ .

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