Integral skizzieren

30.07.2017, 02:23	caslo	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral skizzieren Meine Frage: Hi Leute, kann mir bitte jemand erklären, wie man ein Integral skizziert? Wie muss ich da vorgehen? zum Bsp. hier: $\begin{eqnarray} \int_{2}^{4} \!\int_{-x}^{x} \! x^{3} \, y^{4} \, dx dy \end{eqnarray}$ \int_{2}^{4} \!\int_{-x}^{x} \! x^{3} \, y^{4} \, dx dy Meine Ideen: Weil die Grenzwerte teilweise Variablen sind, weiß ich nicht weiter
30.07.2017, 09:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute, du hast die Aufgabe nicht genau genug gelesen. Du sollst vielleicht nicht das Integral skizzieren, sondern den Integrationsbereich. Und bei deinen Angaben kann auch etwas nicht stimmen. Du hast $\begin{align} \dd x ~ \dd y \end{align}$ geschrieben, was keinen Sinn ergibt (denn im inneren Integral würden die Integrationsgrenzen die Integrationsvariable enthalten). Sinnvoll wäre dagegen $\begin{align} \dd y ~ \dd x \end{align}$ . Der Integrationsbereich ist dann ein gleichschenkliges Trapez: $\begin{align} T = \left\{ \, (x,y) \in \mathbb{R}^2 \, \left\| \ \ 2 \leq x \leq 4 \, , \ -x \leq y \leq x \, \right. \right\} \end{align}$ Versuche, dieses Trapez zu skizzieren. Und übrigens heißt es auch nicht "Grenzwerte", sondern "(Integrations-)Grenzen". Die Summe der Nachlässigkeiten ist schon enorm. Um in der Mathematik voranzukommen, brauchst du ein deutlich höheres Maß an Sorgfalt und Genauigkeit. EDIT Menge T korrigiert.
30.07.2017, 13:35	caslo	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wie kommst du darauf, dass es ein Trapez sein muss? Und ich weiss nicht wie man es zeichnet..
30.07.2017, 14:20	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe $\begin{align} T \end{align}$ oben korrigiert. Die Elemente von $\begin{align} T \end{align}$ sind durch zwei Bedingungen festgelegt (man kann dies den Integrationsgrenzen entnehmen): $\begin{align} \text{(1)} \ \ 2 \leq x \leq 4 \end{align}$ $\begin{align} \text{(2)} \ -x \leq y \leq x \end{align}$ Ein Punkt $\begin{align} (x,y) \in \mathbb{R}^2 \end{align}$ liegt genau dann in $\begin{align} T \end{align}$ , wenn er beide Bedingungen zugleich erfüllt. Nehmen wir ein paar Beispiele: $\begin{align} (1,2) \not \in T \end{align}$ Beide Bedingungen sind nicht erfüllt: die erste Koordinate liegt nicht zwischen 2 und 4, die zweite nicht zwischen -1 und 1. $\begin{align} (3,-4) \not \in T \end{align}$ Die erste Bedingung ist zwar erfüllt, nicht jedoch die zweite, denn -4 liegt nicht zwischen -3 und 3. $\begin{align} (1,0) \not \in T \end{align}$ Hier ist die zweite Bedingung erfüllt, denn 0 liegt zwischen -1 und 1, nicht jedoch die erste. $\begin{align} (3,2) \in T \end{align}$ Hier sind beide Bedingungen erfüllt, denn 3 liegt zwischen 2 und 4, und 2 liegt zwischen -3 und 3. Jetzt mußt du dir überlegen, welche Punkte zu $\begin{align} T \end{align}$ gehören. Vielleicht kommst du selber drauf, wieso sich ein Trapez ergibt und wie es genau aussieht.
30.07.2017, 17:08	caslo	Auf diesen Beitrag antworten »
ich habe nun folgende Werte, die Element von T sind: (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (3,0) (3,1) (3,2) (3,3) (2,0) (2,1) (2,2)
30.07.2017, 17:10	caslo	Auf diesen Beitrag antworten »
komme aber nicht auf ein Trapez
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30.07.2017, 17:16	caslo	Auf diesen Beitrag antworten »
ooouh da hab ich wohl paar Punkte im Minusbereich nicht berücksichtigt. Ich habs jetzt. Kannst du mir bitte noch erklären, ob es nicht einen schnelleren Weg gibt, die Skizze hinzukriegen?
30.07.2017, 18:09	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit den Punkten sollten ja nur Beispiele sein. Eigentlich geht es darum, die beiden Ungleichungen $\begin{align} 2 \leq x \leq 4 \end{align}$ und $\begin{align} -x \leq y \leq x \end{align}$ im Koordinatensystem zu interpretieren. In diesem einfachen Fall kannst du es dir mit Hilfe von Geraden vorstellen. Zeichne die Parallelen zur $\begin{align} y \end{align}$ -Achse bei $\begin{align} x=2 \end{align}$ und $\begin{align} x=4 \end{align}$ sowie die Winkelhalbierenden $\begin{align} y=-x \end{align}$ und $\begin{align} y=x \end{align}$ der Quadranten. Die Ungleichungen sagen, daß der Bereich zwischen diesen Geraden beschrieben wird.

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