Rotation Vektorraum

30.07.2017, 04:21

Das_asdf_Wort

Rotation Vektorraum

Hallo

L sei die Punktmenge $\begin{eqnarray*} \vec{v} = (x,y) \end{eqnarray*}$ innerhalb einer Ebene mit folgender Bedingung: $\begin{eqnarray*} f(x,y)=7x^2 - 6\sqrt{3}xy + 13y^2 = 16 \end{eqnarray*}$

Nun sollen die Achsen um den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gedreht werden, dass die Koordinaten (x',y') im neuen Bezugssystem die Bedingung h(x',y')=1 annehmen, wobei h(x', y') keinen Term
proportional zu x' * y' hat.

Zum ersten versteh ich nicht, was mit "wobei h(x', y') keinen Term proportional zu x' * y' hat" gemeint ist.
Ich verstehe auch Teile der Lösung nicht, da sie super knapp ist.

$\begin{eqnarray*} x = cos(\alpha)x' - sin(\alpha)*y' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = sin(\alpha)x' + cos(\alpha)*y' \end{eqnarray*}$

Das habe ich nun in "f(x,y)" eingesetzt und ausmultipliziert. Ich hoffe es stimmt.
$\begin{eqnarray*} 7*[cos^2(\alpha)x' + sin^2(\alpha)y' - 2*cos(\alpha)x'sin(\alpha)y'] + 6*\sqrt{3}*[cos(\alpha)x'-sin(\alpha)y'][sin(\alpha)x' + cos(\alpha)y'] + 13[sin^2(\alpha)x') + cos^2(\alpha)y' + 2*sin(\alpha)x'cos(\alpha)y'] = 16 \end{eqnarray*}$
Von hier an kam ich nicht mehr weiter. In der Lösung steht lediglich:
"Falls wir fordern, dass der Koeffizient vor dem Term x'y' verschwindet, so erhalten wir: $\begin{eqnarray*} -14*cos(\alpha)sin(\alpha) - 6*\sqrt{3}*[cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha) + 26sin(\alpha)cos(\alpha)] = 0 \end{eqnarray*}$ "
Was ist der Gedankengang dahinter? Welche Koeffizienten meint man genau? Und wieso kann ich das so mir nichts dir nichts fordern?

Danke im Vorraus für die Hilfe

30.07.2017, 07:20

IfindU

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RE: Rotation Vektorraum
Es fehlen bei dir erstens jede Menge Quadrate. So sollte der aller erste Term z.B. $\begin{eqnarray*} (x')^2 \end{eqnarray*}$ heissen. Beim zweiten dann $\begin{eqnarray*} (y')^2 \end{eqnarray*}$ . Der dritte Term bei dir ist der erste Term der Loesung.

Etwas allgemeiner: Du bekommst, wenn du alles ausmutiplizierst und umsortierst etwas der Form $\begin{eqnarray*} \alpha (x')^2 + \beta x'y' + \gamma (y')^2 \end{eqnarray*}$ . Alles was dann da steht ist, ist dass man gerne $\begin{eqnarray*} \beta = 0 \end{eqnarray*}$ waehlen will. Das ist der Term, den man mit $\begin{eqnarray*} x'y' \end{eqnarray*}$ meint.

30.07.2017, 14:18

Das_asdf_Wort

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RE: Rotation Vektorraum
$\begin{eqnarray*} 7*[cos^2(\alpha)(x'^2) + sin^2(\alpha)(y'^2) - 2*cos(\alpha)x'sin(\alpha)y'] + 6*\sqrt{3}*[cos(\alpha)x'-sin(\alpha)y'][sin(\alpha)x' + cos(\alpha)y'] + 13[sin^2(\alpha)(x')^2 + cos^2(\alpha)(y'^2) + 2*sin(\alpha)x'cos(\alpha)y'] = 16 \end{eqnarray*}$

Ergibt ausmultipliziert:
$\begin{eqnarray*} 7*cos^2(\alpha)(x'^2) + 7*sin^2(\alpha)(y'^2) - 14*cos(\alpha)x'sin(\alpha)y' + 6*\sqrt{3}*[cos(\alpha)sin(\alpha)(x'^2)+6*\sqrt{3}*cos(\alpha)cos(\alpha)x'y' -6*\sqrt{3}*sin(\alpha)sin(\alpha)y'x'-6*\sqrt{3}sin(\alpha)cos(\alpha)(y'^2) + 13sin^2(\alpha)(x'^2) + 13cos^2(\alpha)(y'^2) + 26*sin(\alpha)cos(\alpha)x'y'] = 16 \end{eqnarray*}$
Sortiert ergibt das:
$\begin{eqnarray*} (x'^2)[7*cos^2 +6*sqrt{3}cos*sin + 13*sin^2] +(y^2)[7*sin^2 - 6*\sqrt{3}sin*cos +13cos^2] +x'y'[12cossin+6*\sqrt{3}cos^2-6*\sqrt{3}sin^2] \end{eqnarray*}$
Nun verstehe ich immer noch nicht, WIESO man fordern DARF, dass der Term 0 gibt, noch wie man es dann auflöst

30.07.2017, 15:28

IfindU

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RE: Rotation Vektorraum
Man rotiert ja um einen beliebigen Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und bekommt $\begin{eqnarray*} \beta = -14*cos(\alpha)sin(\alpha) - 6*\sqrt{3}*[cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha) ]+ 26sin(\alpha)cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ (ich nehme mal an du hast dich etwas verrechnet, so ist $\begin{eqnarray*} 7 \cdot 2 \neq 12 \end{eqnarray*}$ ).

Jetzt waehlt man das $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} \beta = 0 \end{eqnarray*}$ ist. Ich bewzeifle, dass man es explizit aufloesen kann. Aber man kann leicht ueberprufen, dass fuer $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ wir $\begin{eqnarray*} \beta < 0 \end{eqnarray*}$ haben und fuer $\begin{eqnarray*} \alpha = \frac \pi 2 \end{eqnarray*}$ haben wir $\begin{eqnarray*} \beta >0 \end{eqnarray*}$ . Nach dem Zwischenwertsatz existiert ein $\begin{eqnarray*} \alpha \in (0, \frac \pi 2) \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} \beta = 0 \end{eqnarray*}$ . Und um genau dieses $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ rotieren wir und bekommen eine quadratische Form ohne Mischterm.

30.07.2017, 16:54

Das_asdf_Wort

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RE: Rotation Vektorraum

Zitat:

Original von IfindU
Man rotiert ja um einen beliebigen Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und bekommt $\begin{eqnarray*} \beta = -14*cos(\alpha)sin(\alpha) - 6*\sqrt{3}*[cos^2(\alpha) - sin^2(\alpha) ]+ 26sin(\alpha)cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ (ich nehme mal an du hast dich etwas verrechnet, so ist $\begin{eqnarray*} 7 \cdot 2 \neq 12 \end{eqnarray*}$ ).

ich habe $\begin{eqnarray*} -14*cos(\alpha)sin(\alpha)+ 26sin(\alpha)cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ gekürzt zu $\begin{eqnarray*} 12*cos(\alpha)sin(\alpha) \end{eqnarray*}$ , aber das darf man dann nicht, nehme ich an?

30.07.2017, 16:56

IfindU

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RE: Rotation Vektorraum
Oh doch. Ich war naiverweise davon ausgegangen, dass man bei der Musterlösung schon gekürzt hatte. Schuldige.

30.07.2017, 19:33

Das_asdf_Wort

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RE: Rotation Vektorraum
Also um das noch zum Abschluss zu brigen

Ich habe
$\begin{eqnarray*} 12*cos(\alpha)sin(\alpha) - 6*\sqrt{3}*[cos^2(\alpha) - sin^2](\alpha)= 0 cos(\alpha)sin(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2}*[cos^2(\alpha) - sin^2] 2cos(\alpha)sin(\alpha) = \sqrt{3}*[cos^2(\alpha) - sin^2] \end{eqnarray*}$
Auf dieser Seite habe ich folgendes gefunden:
https://www.symbolab.com/cheat-sheets/Trigonometry#
$\begin{eqnarray*} \sin \left(2x\right)=2\sin \left(x\right)\cos \left(x\right) \cos \left(2x\right)=\cos ^2\left(x\right)-\sin ^2\left(x\right) \end{eqnarray*}$
also:
$\begin{eqnarray*} sin(2*\alpha) = \sqrt{3}*cos(2*\alpha) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(2*\alpha)}{cos(2*\alpha)} = \sqrt{3} \arctan(\sqrt{3}) =\alpha \end{eqnarray*}$

folglich ist alpha 30°

Kann das stimmen?

30.07.2017, 19:36

IfindU

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RE: Rotation Vektorraum
Wolfram Alpha bestaetigt das Ergebnis. Freude

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