Integration einer Dichtefunktion

30.07.2017, 10:08

minx

Integration einer Dichtefunktion

Guten Tag!

Wirtschaftsstudentin in Vorbereitung auf eine Statistikklausur hier.
Ich habe es mit der folgenden Dichtefunktion zu tun.

f(x) =x für 0<x<1
2-x für 1<x<2

Die Stammfunktion wäre somit
F(x)=0 für x<0
(1/2)x^2 für 0<x<1
2x-(1/2)x^2 für 1<x<2

Jetzt muss ich nun denn Erwartungswert und die Varianz berechnen.
In den Lösungen steht aber folgendes über die Aufleitung.
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! x^{2} \, dx +\int_{1}^{2} \! 2x-x^{2} \, dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left[\frac{1}{3} x^{3} \right]_{0}^{1} +\left[x^{2}-\frac{1}{3}x^{3} \right]_{1}^{2} \end{eqnarray*}$

Warum wird aus $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ denn $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} x^{3} \ \end{eqnarray*}$ ? Müsste die Berechnung für die Aufleitung nicht 1/2 * 1/3 * x^3 lauten und somit 1/6*x^3 ergeben und nicht 1/3 *x^3?

Ich bedanke mich für die Antwort im Voraus! smile

30.07.2017, 10:22

G3007

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RE: Aufleitung einer Dichtefunktion
x^n wird aufgeleitet zu x^(n+1)/(n+1)

Das sollte dir noch aus der Schule bekannt sein. verwirrt

30.07.2017, 10:44

Huggy

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RE: Aufleitung einer Dichtefunktion
Aufgeleitet wird überhaupt nicht! Das ist Schülersprech. Es wird integriert.

30.07.2017, 12:42

Mathema

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So ist es! Damit sich dieser furchtbare Begriff nicht weiterverbreitet habe ich den Titel geändert. Danke @Huggy.

31.07.2017, 10:40

minx

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RE: Aufleitung einer Dichtefunktion
Deswegen ist ja meine Frage warum aus $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} x^{2} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} x^{3} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} x^{3} \end{eqnarray*}$ wird.

31.07.2017, 10:45

klarsoweit

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RE: Aufleitung einer Dichtefunktion
Ich sehe nur nicht, daß da irgendwo $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} x^2 \end{eqnarray*}$ steht. verwirrt

31.07.2017, 10:46

HAL 9000

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RE: Aufleitung einer Dichtefunktion
@minx

Offenbar bist du komplett durcheinander: Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsgröße wird gemäß

$\begin{align*} E(X) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x\cdot f(x) ~ \dd x \end{align*}$

berechnet. Deine seltsamen Einwürfe wie etwa

Zitat:

Original von minx
Deswegen ist ja meine Frage warum aus $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} x^{2} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} x^{3} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} x^{3} \end{eqnarray*}$ wird.

lassen darauf schließen, dass du stattdessen irgendwas wie $\begin{align*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} F(x) ~ \dd x \end{align*}$ berechnen willst, was kompletter Blödsinn in Hinblick auf den Erwartungswert ist.

31.07.2017, 10:57

Leopold

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RE: Integration einer Dichtefunktion
Keine Antwort auf deine Frage, aber eine wichtige Korrektur.

Zitat:

Original von minx
Die Stammfunktion wäre somit
F(x)=0 für x<0
(1/2)x^2 für 0<x<1
2x-(1/2)x^2 für 1<x<2

Auf den Teilintervallen ist das eine Stammfunktion, aber nicht global. Du mußt die Integrationskonstanten passend wählen. Bei der Anschlußstelle 0 stimmt das noch, aber nicht mehr bei der Anschlußstelle 1. Die korrekte Verteilungsfunktion wäre:

$\begin{align*} F(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^2 , & 0 \leq x \leq 1 \\ 2x - \frac{1}{2} x^2 - 1, & 1 \leq x \leq 2 \\ 1 , & x \geq 2 \end{cases} \end{align*}$

Die scheinbar mehrfachen Definitionen an den Anschlußstellen vertragen sich miteinander. $\begin{align*} F \end{align*}$ ist daher wohldefiniert.

31.07.2017, 11:05

HAL 9000

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Es gibt übrigens tatsächlich eine Formel, die Erwartungswert und Integral über Verteilungsfunktion (zumindest so ähnlich) in Verbindung bringen:

$\begin{align*} E(X) = \int\limits_0^{\infty} (1-F(x)) ~ \dd x\qquad (*) \end{align*}$ .

Die gilt aber nur für fast sicher nichtnegative Zufallsgrößen, d.h. es wird $\begin{align*} P(X\geq 0)=1 \end{align*}$ vorausgesetzt, was im vorliegenden Fall erfüllt ist. Dennoch ist hier der Weg über $\begin{align*} E(X) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x\cdot f(x) ~ \dd x \end{align*}$ einfacher. Augenzwinkern

Vorteil von (*) ist, dass keine Stetigkeit von $\begin{align*} X \end{align*}$ vorausgesetzt wird, es gilt also z.B. auch für diskrete Zufallsgrößen.

31.07.2017, 15:08

minx

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Ich hab mein Problem schon entdeckt, ich muss f(x) erst mit x multiplizieren und dann erst integrieren. Big Laugh

Bei der Stammfunktion wusste ich nicht wie ich die "gleich oder größer/kleiner"-Klammern im Formeleditor eingeben sollte, wie mach ich das denn? Nur damit ich für's nächste mal Bescheid weiß.

Danke für eure Hilfe! smile

LG

minx

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