Linksseitiger Hypothesentest

30.07.2017, 18:00	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
Linksseitiger Hypothesentest Eine Umfrage von 51 Studenten ergibt, dass über 50% der Befragten männlich sind (Nullhypothese). Wie hoch muss der Anteil an männlichen Studenten sein, damit die Hypothese angenommen werden kann und die Irrtumswahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} \alpha = 0.05 \end{eqnarray}$ ist. Gehen sie näherungsweise von einer Gauß-Verteilung aus. Also zunächst die Hypothesen: $\begin{eqnarray} H_0: p \ge 0.5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H_1: p < 0.5 \end{eqnarray}$ Ein guter Schätzer für p ist die relative Häufigkeit $\begin{eqnarray} R_n \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ die größere Wahrscheinlichkeit hat macht folgender Ansatz Sinn: Wenn $\begin{eqnarray} R_n > c \end{eqnarray}$ nehme $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ an, sonst $\begin{eqnarray} H_1 \end{eqnarray}$ . Damit folgt folgender Ansatz für den Fehler 1. Art: $\begin{eqnarray} P(R_n \le c \| H_0) = P(R_n \le c \| p=0.5) \le \alpha \end{eqnarray}$ Für hinreichend großes n ist mit dem zentralen Grenzwertsatz $\begin{eqnarray} R_n \end{eqnarray}$ normalverteilt mit $\begin{eqnarray} R_n ist N(p, \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}) \end{eqnarray}$ verteilt. Nun: $\begin{eqnarray} P(R_n \le c \| p=0.5) \le \alpha \Leftrightarrow P(\frac{R_n-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le \frac{c-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}) \le \alpha \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \frac{R_n-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} nun N(0,1) \end{eqnarray}$ verteilt ist. Damit folgt mit der Verteilungsfunktion: $\begin{eqnarray} \phi( \frac{c-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}) \le \alpha \end{eqnarray}$ Zu bestimmen ist also das Quantil der Standardnormalverteilung: $\begin{eqnarray} z_\alpha = z_{0.05} = -1.6449 \end{eqnarray}$ Rücktransformation: $\begin{eqnarray} -1.6449 = \frac{c-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \Leftrightarrow -1.6449 = \frac{c-0.5}{\sqrt{\frac{0.5(1-0.5)}{51}}} \Leftrightarrow c = -1.6449 \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}+p = 0.3848 \end{eqnarray}$ Wenn der Anteil der männlichen Studenten mehr als ~38.5% beträgt wird die Hypothese $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ angenommen. Kann da jemand bitte drüberschauen, muss es abgeben und brauch die Punkte

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