Fourier-Transformation bijektiv

30.07.2017, 18:35	Faldi	Auf diesen Beitrag antworten »
Fourier-Transformation bijektiv Meine Frage: Guten Abend, mir isr bekannt, dass die FT ein isometrischer Isomorphismus auf S (Schwartz-Funktionen) bzgl L2 Norm ist. In meinem Skript steht nun, dass sie das auch für stetige Funktionen f in L1 ist, deren FT auch selbst wieder in L1 ist. Warum ist das so? Meine Ideen: Finde leider keinen Beweis im Internet und mein Ansatz. über die Dichtheit von S in L1 klappt bisher nicht. Wäre für Hilfe dankbar!
30.07.2017, 18:47	Faldi	Auf diesen Beitrag antworten »
Edit: Isometrie ist in diesem Fall natürlich nicht gegeben. Mir geht es um die Bijektivität!
30.07.2017, 19:04	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Fouriertransformation ist injektiv sogar auf ganz $\begin{align} L^1 \end{align}$ . Das liegt daran, dass auf $\begin{align} f \end{align}$ mit $\begin{align} \hat f = 0 \end{align}$ die Fourierumkehrformel anwendbar ist und sofort $\begin{align} f=0 \end{align}$ folgt. Surjektivität: Sei $\begin{align} f\in L^1 \end{align}$ stetig mit $\begin{align} \hat f\in L^1 \end{align}$ . Du müsstest jetzt wissen, dass für $\begin{align} g(x) = \frac{1}{(2\pi)^n}\int_{\mathbb R^n}f(y)e^{ixy}\mathrm dy \end{align}$ gilt, dass $\begin{align} \hat g = f \end{align}$ . Das folgt auch direkt aus der Umkehrformel, indem man hier und da mal ein Minus statt einem Plus schreibt.
30.07.2017, 19:05	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} L^1 \end{eqnarray}$ Funktionen werden unter der Fouriertransformation auf stetige Funktionen geschickt. Damit werden es auch stetige $\begin{eqnarray} L^1 \end{eqnarray}$ Funktionen. Schlussendlich auch stetige $\begin{eqnarray} L^1 \end{eqnarray}$ Funktionen, deren Fouriertransformation in $\begin{eqnarray} L^1 \end{eqnarray}$ liegt. Die letzte Klasse von Funktionen hat nun einen extrem grossen Vorteil: Die inverse Fouriertransformation ist fuer $\begin{eqnarray} L^1 \end{eqnarray}$ Funktionen definiert. Man muss uebrigens nicht fordern, dass sie stetig sind. Jede $\begin{eqnarray} L^1 \end{eqnarray}$ Funktion mit Fouriertransformation in $\begin{eqnarray} L^1 \end{eqnarray}$ ist stetig. Edit: Knapp zu langsam
30.07.2017, 19:15	Faldi	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke beiden!

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