Integral cos^2 x^2

31.07.2017, 10:38

Baum290

Integral cos^2 x^2

Guten Tag,

in einer Altklausuraufgabe kam nach etwas Rechnerei auf folgendes Integral

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{2}\int_{-\frac{a}{2}}^\frac{a}{2} \cos^2 (nx\frac{\pi}{a}) x^2 \epsilon dx \quad n\in \mathbb Z, a>0, \epsilon >0 \end{eqnarray*}$

Um die Aufgabe zu lösen, muss ich dieses Integral auswerten. Gibt es irgendeinen Trick mit dem sich das ganze direkt lösen lässt?

Als Lösung soll 0 herauskommen.

Gruß
Baum

31.07.2017, 10:40

IfindU

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RE: Integral cos^2 x^2
Dann hast du dich verrechnet. Ich weiss nicht was genau beim Integral herauskommt, aber ich kann dir garantieren es ist strikt größer als 0.

31.07.2017, 10:43

Leopold

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Vielleicht ist ja 2=3 oder so ... Augenzwinkern

31.07.2017, 11:07

Baum290

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Warum bist du dir so sicher, dass das Ergebnis > 0 ist?

Weiß jemand von euch, wie man ein derartiges Integral auswertet?

31.07.2017, 11:09

IfindU

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Du integrierst eine (fast ueberall) strikt positive Funktion auf einem Intervall mit positiver Laenge. Es kann nur strikt groesser 0 sein.

Sicher, dass man nicht $\begin{eqnarray*} \epsilon \to 0 \end{eqnarray*}$ laufen laesst?

31.07.2017, 11:24

Baum290

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Das steht nicht explizit in der Aufgabe.

Die einzige Angabe zu Epsilon gibt es zu beginn der Aufgabenstellung:

Ein Teilchen bewege sich in einer räumlichen Dimension im Potential
$\begin{eqnarray*} V(x) = \begin{cases}\infty &\quad \vert x \vert \geq a/2 \\\epsilon x^2 &\quad \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} a>0, \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \epsilon x \end{eqnarray*}$ hinreichend klein, so dass Sie den Term als kleine Störung auffassen dürfen.

31.07.2017, 11:27

IfindU

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Dann wohl nicht. Kannst du mir noch verraten, was man damit nun machen muss. Musst nicht die komplette Rechnung aufschreiben, bloss den Startpunkt.

31.07.2017, 11:51

Clearly_wrong

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Zitat:

Weiß jemand von euch, wie man ein derartiges Integral auswertet?

Schon, ändert aber nichts am Ergebnis.

Es ist $\begin{align*} \cos^2\left(nx\frac \pi a\right) = \frac{1}{2}\left(1+\cos\left(2nx\frac{\pi}{a}\right)\right) \end{align*}$ . Das und die Substitution $\begin{align*} x\mapsto \frac{ax}{2\pi n} \end{align*}$ liefert das Integral $\begin{align*} \frac{a\epsilon}{4}\left(\frac{a}{2\pi n}\right)^3\int_{-\pi n}^{\pi n}(1+\cos(x))x^2\mathrm dx \end{align*}$ .

Für die Berechnung hilft die Stammfunktion $\begin{align*} \int \cos(x)x^2\mathrm dx = \sin(x)(x^2-2)+2x\cos(x) \end{align*}$ , die man durch partielle Integration findet. Das kannst du jetzt selbst zusammenbauen.

31.07.2017, 12:01

Baum290

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Berechnen Sie die Korrektur zu den Energieeigenwerten in erster Ordnung (Das ist die eigentliche Aufgabe)

Dazu löst man die DGl

$\begin{eqnarray*} -\frac{h^2}{2m}\psi ''(x) = E\psi(x) \quad E>0 \end{eqnarray*}$

mit den Randbedingungen

$\begin{eqnarray*} \psi(\pm \frac{a}{2})=0 \quad \land \quad \int_{-\frac{a}{2}}^\frac{a}{2} |\psi(x)|^2 dx =1 \end{eqnarray*}$

Falls es jemand Nachrechnen möchte, die Lsg sind

$\begin{eqnarray*} \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}cos(xn\frac{\pi}{a}), n \medspace \text{gerade}\quad \lor \quad \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}sin(xn\frac{\pi}{a}), n \medspace \text{ungerade} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man die Energie Korrekturen erster Ordnung über folgende Beziehung bestimmen:

$\begin{eqnarray*} E^{(1)}_n =<\psi_n ^{(0)}|V|\psi_n ^{(0)}>= \frac{a}{2}\int_{-\frac{a}{2}}^\frac{a}{2} |\psi^{(0)}(x)_n|^2 x^2 \epsilon dx \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} \psi_n ^{(0)} \end{eqnarray*}$ sind Lsg. (siehe oben) des ungestörten Problem.

Und dabei stoßt man auf das Integral, dass ich zu beginn gepostet habe.

Danke Clearly_wrong, ich probiere diesen Ansatz mal aus.

31.07.2017, 12:43

IfindU

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Ich verstehe ehrlich gesagt die Loesung der DGL nicht. In dieser tauchen naemlich $\begin{eqnarray*} h,m, E \end{eqnarray*}$ auf, waehrend in der Loesung ploetzlich stattdessen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ auftaucht.

Edit: Das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist noch einleuchtend.

31.07.2017, 13:09

Baum290

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Korrektur:

Es sollte

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{a}\int_{-\frac{a}{2}}^\frac{a}{2} \cos^2 (nx\frac{\pi}{a}) x^2 \epsilon dx \quad n\in \mathbb Z, a>0, \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ lauten.

Mit dem Ansatz von Clearly Wrong erhalte ich folgende Lsg.

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{a}\int_{-\frac{a}{2}}^\frac{a}{2} |\psi_n(x)|^2 x^2 \epsilon dx =\frac{2}{a}\int_{-\frac{a}{2}}^\frac{a}{2} cos^2(xn\frac{\pi}{a}) \epsilon x^2 = \frac{1}{a} \int_{-\frac{a}{2}}^\frac{a}{2} (1+ \cos(2nx \frac{\pi}{a}))\epsilon x^2 \end{eqnarray*}$

Substitution:

$\begin{eqnarray*} 2nx \frac{\pi}{a}= z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{3a}x^3 |_{-\frac{a}{2}} ^ {\frac{a}{2}} + \frac{\epsilon}{a}\int_{-n\pi}^{n\pi} \cos^2(z) \cdot (\frac{za}{\pi 2n})^2 \cdot \frac{dz a}{2n \pi} = \frac{\epsilon a^2}{12} + (\frac{a}{2\pi n})^3 \frac{\epsilon}{a} \int_{-n\pi}^{n\pi} \cos^2(z) z^2 \end{eqnarray*}$

Aus

$\begin{eqnarray*} \int \cos(x)x^2\mathrm dx = \sin(x)(x^2-2)+2x\cos(x) \end{eqnarray*}$

folgt:

$\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon a^2}{12} + (\frac{a}{2\pi n})^3 \frac{\epsilon}{a} \cdot (\sin(z)(z^2-2)+2z\cos(z)|_{-n\pi} ^{n\pi} ) = \frac{\epsilon a^2}{12} + (\frac{a}{2\pi n})^3 \frac{\epsilon}{a} \cdot 4n\pi \end{eqnarray*}$

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