Lp-Norm ins Integral ziehen

31.07.2017, 19:13	Faldi	Auf diesen Beitrag antworten »
Lp-Norm ins Integral ziehen Meine Frage: Warum gilt: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \left(\int_A \! \left\|\int_A \! f(x,y) \, dx \right\|^p \, dy \right)^{1/p} \leq <br /> \int_A \! \left(\int_A \! \|f(x,y)\|^p \, dy\right)^{1/p} \, dx<br /> <br /> \end{eqnarray}$ für A im R^n offen Meine Ideen: Sprich warum darf ich die Lp Norm unters I tegeal ziehen? Korrektur durchgeführt und alle Folgebeiträge dazu entfernt, damit Antwortenzähler wieder auf Null steht. Guppi12
31.07.2017, 20:10	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz abstrakt gesehen ist das auch nichts anderes als die Dreiecks- bzw. Minkowsiki Ungleichung, hier eine kurze Erklärung dazu. Wenn das zu abstrakt ist, habe ich unten noch eine einfachere Erklärung. Wenn wir die Abbildung $\begin{eqnarray} F: A\to L^p(A), x\mapsto f(\cdot, x) \end{eqnarray}$ betrachten, so ist unter den richtigen Voraussetzungen $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} L^1 \end{eqnarray}$ Funktion, aber nicht mit Werten in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ , sondern mit Werten im $\begin{eqnarray} L^p \end{eqnarray}$ -Raum $\begin{eqnarray} L^p(A) \end{eqnarray}$ . Man sagt auch $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ ist Bochner-integrierbar. Auch für Bochner-Integrale gilt die Dreiecksungleichung, also $\begin{eqnarray} \left\|\int_A F(x)dx\right\|\leq \int_A\|F(x)\|dx \end{eqnarray}$ . Dabei ist $\begin{eqnarray} \int_A F(x)dx \end{eqnarray}$ zu verstehen als die $\begin{eqnarray} L^p \end{eqnarray}$ -Funktion $\begin{eqnarray} y\mapsto \int_Af(x,y)dx \end{eqnarray}$ . Allerdings ist nun $\begin{eqnarray} \|\cdot\| \end{eqnarray}$ nicht der Betrag, sondern die $\begin{eqnarray} L^p \end{eqnarray}$ -Norm. Setzen wir das ein, erhalten wir $\begin{eqnarray} \left(\int_A \left\|\int_A f(x,y)dx\right\|^p dy\right)^{1/p}= \left\\|\int_A F(x)dx\right\\|_p \leq \int_A \\|F(x)\\|_p dx = \int_A\left(\int_A \|f(x,y)\|^pdy\right)^{1/p}dx \end{eqnarray}$ und das ist ja genau die Ungleichung, die wir gesucht haben. Ich habe diesen Weg zuerst vorgeführt, weil es die konzeptionell richtige Betrachtensweise ist. Hier nun der weniger abstrakte Weg. Sei $\begin{eqnarray} g\in L^q(A) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \\|g\\|_q = 1 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \frac 1p+\frac 1q = 1 \end{eqnarray}$ . Wegen der Hölderschen Ungleichung gilt $\begin{eqnarray} \int_A \|f(x,y)g(y)dy\|\leq \left(\int_A \|f(x,y)\|^pdy\right)^{1/p} \end{eqnarray}$ . Integrieren wir diese Ungleichung einmal über $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , steht da $\begin{eqnarray} \int_A \int_A \|f(x,y)g(y)\|dydx \leq \int_A \left(\int_A \|f(x,y)\|^pdy\right)^{1/p} dx \end{eqnarray}$ . Nun können wir in der linken Seite die Integrationsreihenfolge vertauschen und $\begin{eqnarray} \|g(y)\| \end{eqnarray}$ aus dem inneren Integral herausziehen. Dort steht dann $\begin{eqnarray} \int_A\|g(y)\|\int_A \|f(x,y)\|dxdy \leq \int_A \left(\int_A \|f(x,y)\|^pdy\right)^{1/p} dx \end{eqnarray}$ . Jetzt können wir auf der linken Seite zum Supremum über alle $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ dieser Art übergehen und dann steht links das gewünschte $\begin{eqnarray} \left(\int_A\left\|\int_A \|f(x,y)\|dx\right\|^p dy\right)^{1/p} \end{eqnarray}$ , wobei wir verwendet haben, dass für jede messbare Abbildung $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ gilt, dass $\begin{eqnarray} \\|h\\|_p = \sup_{\substack{g\in L^q \\ \\|g\\| = 1}} \left\|\int h(y)g(y)dy\right\| \end{eqnarray}$ , hier speziell angewendet auf $\begin{eqnarray} h(y) = \int_A \|f(x,y)\|dx \end{eqnarray}$ . Jetzt kann man im inneren Integral noch einmal die Beträge weglassen und macht den Ausdruck damit nicht größer.
31.07.2017, 20:20	Faldi	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf genau so etwas hatte ich gehofft! Danke dir, beide Erklärungen sind für mich im Moment sehr wertvoll

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