Einleitung Eigenwerte/-vektoren |
01.08.2017, 02:20 | LerkLärung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Einleitung Eigenwerte/-vektoren Guten Morgen. Im Anhang die Aufgabe. Ich hab durch die Polynomdivision->PQ-Formel rausgefunden das x_1=3 und x_2=1 die Eigenwerte sind. Was genau heißt das jetzt? Denn ich habe bei Teilaufgabe b) passenden Eigenwerte 1/2 und 0 und 1/3 gefunden. Also weder 3 noch 1. Habe ich einen Fehler gemacht? Meine Ideen: zu a) (1-p)*x + y/2 = 0 2x + y*(1-p) = 0 z*(3-p) = 0 Davon die Determinante ergab 3 - 7p + 5p^2 - p^3 Durch Polynomdivision: -p^2 + 4p - 3 PQ-Formel x_1=3 x2=1 zu b) Also ist Vektor u ein Eigenvektor von A und 1/2 ein Eigenwert von A Also ist Vektor v ein Eigenvektor von A und 0 ein Eigenwert von A Also ist Vektor x ein Eigenvektor von A und 1/2 ein Eigenwert von A Also ist Vektor y ein Eigenvektor von A und 1/3 ein Eigenwert von A |
||||||||
01.08.2017, 02:31 | LerkLärung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe eben einen Fehler bei der Polynomdivision erkannt von mir. Damit ist x_1 = 3 und x_2 = 1 vermutlich nicht korrekt. Bei b) habe ich jedoch trotzdem (ausser ich übersehe da etwas) 3 Werte gefunden: 1/2, 1/3 und 0. Ich vermute mal das richtige x_1 und x_2 wäre: x_1 = 1/2 x_2 = 1/3 und 0 ist eine Triviale Lösung? Ist das korrekt? |
||||||||
01.08.2017, 08:51 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Einleitung Eigenwerte/vektoren Zu Aufgabe a: die Berechnung des charakteristischen Polynoms war unnötig. Da die 3 auf der Hauptdiagonalen steht und sich in der restlichen Zeile (bzw. Spalte) nur Nullen befinden, ist 3 ein Eigenwert. Zu Aufgabe b: da ist ja einiges schief gegangen:
Die Gleichung stimmt noch, aber nun mußt du ein Lambda finden, so daß ist. Der Faktor 1/2 ist es offensichtlich nicht. Die anderen Rechnungen (außer bei Vektor v) darfst du ebenfalls nochmal prüfen. |
||||||||
01.08.2017, 16:21 | LerkLärung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@klarsoweit Zu a) Ist das im Allgemeinen immer so schnell gesehen? Sprich Hier hat die Matrix dann die Eigenwerte 1, 2 und 3? Zu b) Ich sehe meine Fehler. Danke lambda ist somit 2. Die anderen Ergebnisse sind wie du bereits sagtest auch zu korriegieren. Danke nochmal. |
||||||||
01.08.2017, 17:44 | LerkLärung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Neben der Frage im Zitat habe ich noch eine Frage. Ich habe eine andere Aufgabe berechnet, wo es wichtig ist die Eigenwerte zu finden. Dabei habe ich in einen Eigenwerte-Rechner meine Matrix eingegeben und die Eigenwerte: x_1 = 8 x_2 = -2 + sqrt(3) x_3 = -2 - sqrt(3) rausbekommen. Jetzt hab ich das nochmal von Hand gemacht mit der Polynomdivision+PQ-Formel und da kann ich ja maximal nur 2 Eigenwerte rausbekommen. Ich habe die Eigenwerte: y_1 = x_2 und y_2 = x_3 Stimmt mit oben also überein. Wie bekomm ich jedoch den Eigenwert 8 raus? Meine Vermutung ist: Bevor ich mit der Polynomdivision anfange, suche ich für x einen Wert, wodurch die Gleichung 0 ergibt: -x^3 + 12x^2 - 33x + 8 = 0 Die Gleichung ergibt für x = 8 null. Meine Vermutung ist das diese 8 die ich gefunden habe ein Eigenwert ist. Stimmt das? |
||||||||
02.08.2017, 08:54 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig. Man sieht es ja auch sofort am charakteristischen Polynom, das in diesem Fall relativ trivial ist.
Richtig. Jede Nullstelle des Polynoms ist ein Eigenwert.
Ich weiß ja nicht, wie deine Matrix aussah, aber diese Werte sind keine Nullstellen des Polynoms -x^3 + 12x^2 - 33x + 8 : |
||||||||
Anzeige | ||||||||
|
||||||||
02.08.2017, 09:42 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vorzeichenfehler |
||||||||
02.08.2017, 16:09 | LerkLärung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig, entschuldigt. 2 + sqrt(3) und 2 - sqrt(3) ist das ergebnis. |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |