Einleitung Eigenwerte/-vektoren

Neue Frage »

LerkLärung Auf diesen Beitrag antworten »
Einleitung Eigenwerte/-vektoren
Meine Frage:
Guten Morgen. Im Anhang die Aufgabe.
Ich hab durch die Polynomdivision->PQ-Formel rausgefunden das x_1=3 und x_2=1 die Eigenwerte sind. Was genau heißt das jetzt? Denn ich habe bei Teilaufgabe b) passenden Eigenwerte 1/2 und 0 und 1/3 gefunden. Also weder 3 noch 1. Habe ich einen Fehler gemacht?


Meine Ideen:
zu a)


(1-p)*x + y/2 = 0
2x + y*(1-p) = 0
z*(3-p) = 0



Davon die Determinante ergab
3 - 7p + 5p^2 - p^3

Durch Polynomdivision:
-p^2 + 4p - 3

PQ-Formel
x_1=3 x2=1

zu b)

Also ist Vektor u ein Eigenvektor von A und 1/2 ein Eigenwert von A


Also ist Vektor v ein Eigenvektor von A und 0 ein Eigenwert von A


Also ist Vektor x ein Eigenvektor von A und 1/2 ein Eigenwert von A


Also ist Vektor y ein Eigenvektor von A und 1/3 ein Eigenwert von A
LerkLärung Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe eben einen Fehler bei der Polynomdivision erkannt von mir.
Damit ist x_1 = 3 und x_2 = 1 vermutlich nicht korrekt.

Bei b) habe ich jedoch trotzdem (ausser ich übersehe da etwas) 3 Werte gefunden: 1/2, 1/3 und 0.

Ich vermute mal das richtige x_1 und x_2 wäre:
x_1 = 1/2
x_2 = 1/3

und 0 ist eine Triviale Lösung? Ist das korrekt?
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einleitung Eigenwerte/vektoren
Zu Aufgabe a: die Berechnung des charakteristischen Polynoms war unnötig. Da die 3 auf der Hauptdiagonalen steht und sich in der restlichen Zeile (bzw. Spalte) nur Nullen befinden, ist 3 ein Eigenwert.

Zu Aufgabe b: da ist ja einiges schief gegangen:
Zitat:
Original von LerkLärung

Also ist Vektor u ein Eigenvektor von A und 1/2 ein Eigenwert von A

Die Gleichung stimmt noch, aber nun mußt du ein Lambda finden, so daß ist. Der Faktor 1/2 ist es offensichtlich nicht.

Die anderen Rechnungen (außer bei Vektor v) darfst du ebenfalls nochmal prüfen. smile
LerkLärung Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit
Zu a)
Ist das im Allgemeinen immer so schnell gesehen? Sprich



Hier hat die Matrix dann die Eigenwerte 1, 2 und 3?

Zu b)
Ich sehe meine Fehler. Danke




lambda ist somit 2. Die anderen Ergebnisse sind wie du bereits sagtest auch zu korriegieren. Danke nochmal.
LerkLärung Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LerkLärung
@klarsoweit
Zu a)
Ist das im Allgemeinen immer so schnell gesehen? Sprich



Hier hat die Matrix dann die Eigenwerte 1, 2 und 3?


Neben der Frage im Zitat habe ich noch eine Frage.

Ich habe eine andere Aufgabe berechnet, wo es wichtig ist die Eigenwerte zu finden.
Dabei habe ich in einen Eigenwerte-Rechner meine Matrix eingegeben und die Eigenwerte:
x_1 = 8
x_2 = -2 + sqrt(3)
x_3 = -2 - sqrt(3)
rausbekommen.

Jetzt hab ich das nochmal von Hand gemacht mit der Polynomdivision+PQ-Formel und da kann ich ja maximal nur 2 Eigenwerte rausbekommen. Ich habe die Eigenwerte:
y_1 = x_2 und
y_2 = x_3

Stimmt mit oben also überein.
Wie bekomm ich jedoch den Eigenwert 8 raus?

Meine Vermutung ist:
Bevor ich mit der Polynomdivision anfange, suche ich für x einen Wert, wodurch die Gleichung 0 ergibt:
-x^3 + 12x^2 - 33x + 8 = 0
Die Gleichung ergibt für x = 8 null.

Meine Vermutung ist das diese 8 die ich gefunden habe ein Eigenwert ist. Stimmt das?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LerkLärung
Zu a)
Ist das im Allgemeinen immer so schnell gesehen? Sprich



Hier hat die Matrix dann die Eigenwerte 1, 2 und 3?

Richtig. Man sieht es ja auch sofort am charakteristischen Polynom, das in diesem Fall relativ trivial ist. Augenzwinkern

Zitat:
Original von LerkLärung
Meine Vermutung ist das diese 8 die ich gefunden habe ein Eigenwert ist. Stimmt das?

Richtig. Jede Nullstelle des Polynoms ist ein Eigenwert.

Zitat:
Original von LerkLärung
Dabei habe ich in einen Eigenwerte-Rechner meine Matrix eingegeben und die Eigenwerte:
x_2 = -2 + sqrt(3)
x_3 = -2 - sqrt(3)
rausbekommen.

Ich weiß ja nicht, wie deine Matrix aussah, aber diese Werte sind keine Nullstellen des Polynoms -x^3 + 12x^2 - 33x + 8 :

Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LerkLärung
x_1 = 8
x_2 = -2 + sqrt(3)
x_3 = -2 - sqrt(3)


Vorzeichenfehler
LerkLärung Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, entschuldigt.
2 + sqrt(3)
und
2 - sqrt(3)

ist das ergebnis.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »