Konvergenzradius

01.08.2017, 14:07

Stella231

Konvergenzradius

Meine Frage:
Hallo alle zusammen ich habe folgende Aufgabe :

Es sei p der Konvergenzradius von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n} x^{n} \end{eqnarray*}$ zeigen sie

Wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n} =0 \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} p\geq 1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Die Lösung der Aufgabe ist :

Es gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n} =0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \exists c \in \mathbb R : |a_{n} |\leq c \end{eqnarray*}$

Es folgt somit :

$\begin{eqnarray*} |\sum\limits_{n=1}^{\infty } a_{n} x^{n}| \leq \sum\limits_{n=1}^{\infty } |a_{n}| | x^{n}| < c* \sum\limits_{k=1}^{\infty } |x|^n < \infty \end{eqnarray*}$

das heißt |x| <1 also muss p>=1 sein.

Ich verstehe in diesem Beweis nicht klar wir haben die Geometrische Reihe und diese Konvergiert nur wenn |x| < 1 ist aber auch wenn |x| <1 ist ist das lange nicht der Grenzwert der Reihe sondern $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-|x|} > 1 \end{eqnarray*}$
und das ist größer als 1 und wenn wir nun die Cauchy- Hadamard Formel benutzen haben wir für den Konvergenzradius eine zahl die kleiner als 1 ist ...

und ausserdem wenn der Grenzwert von an =0 ist dann muss doch auch der limes superior von an =0 sein darausfolgt eigentlich meines wissens nach das der Konvergenzradius = unendlich ist..

01.08.2017, 14:39

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Stella231
sondern $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-|x|} > 1 \end{eqnarray*}$ und das ist größer als 1

Der Reihenwert an sich hat nichts mit dem Konvergenzbereich bzw. -radius zu tun: Der betrifft nur die Werte $\begin{align*} x \end{align*}$ . Insofern verstehe ich nicht, was du mit dem $\begin{align*} \frac{1}{1-|x|} > 1 \end{align*}$ sagen willst. Erstaunt1

Zitat:

Original von Stella231
und ausserdem wenn der Grenzwert von an =0 ist dann muss doch auch der limes superior von an =0 sein darausfolgt eigentlich meines wissens nach das der Konvergenzradius = unendlich ist..

Die nächste Verwechslung, diesmal zwischen $\begin{align*} \limsup_{n\to\infty} a_n \end{align*}$ und $\begin{align*} \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} \end{align*}$ : Letzeres ist relevant für den Konvergenzradius, nicht ersteres. unglücklich

01.08.2017, 14:43

Stella231

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ich glaube ich verstehe die Aufgabe jetzt

wenn |x| <1 dann kann der KonvergenzRADIUS entweder 1 oder >1 sein..
aber ich verstehe nicht haben wir nicht den Konvergenzradius jetzt konkret herausbekommen also ist der nicht genau 1..

01.08.2017, 14:49

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, aus den gegebenen Voraussetzungen kann man nur $\begin{align*} p\geq 1 \end{align*}$ folgern, aber nicht den konkreten Wert von $\begin{align*} p \end{align*}$ ausrechnen. Dazu muss man sich nur die Beispiele $\begin{align*} a_n = \frac{1}{np^n} \end{align*}$ anschauen: Die Bedingung $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} a_n=0 \end{align*}$ ist hier für alle $\begin{align*} p\geq 1 \end{align*}$ erfüllt, und die Potenzreihe $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n \end{align*}$ hat den Konvergenzradius $\begin{align*} p \end{align*}$ .

01.08.2017, 15:04

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

... und ich könnte wetten, daß $\begin{align*} p \end{align*}$ in Wahrheit $\begin{align*} \varrho \end{align*}$ heißt. Aber was interessieren heutzutage schon solche Kleinigkeiten ... dann heißt von jetzt ab der Konvergenzpadius halt $\begin{align*} p \end{align*}$ ... phh! ... mir doch egal ...

01.08.2017, 15:09

Stella231

Auf diesen Beitrag antworten »

Leopold ich kenne den Konvergenzradius als R in der Aufgabenstellung steht der als p keine Ahnung..

wir können den Konvergenzradius nicht genau ausrechnen weil die Folge an nicht konkret angegeben ist kann das sein ?

01.08.2017, 15:13

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold

Naja, es gibt größere Katastrophen in der Problemdarlegung als ein $\begin{align*} p \end{align*}$ statt $\begin{align*} \varrho \end{align*}$ . Ein in weitgehend fehlerfreiem Deutsch und lesbaren Formeln abgefasster Beitrag (so wie hier) wird ja immer mehr zum seltenen Ereignis hier im Forum, insofern wird man da demütig. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Stella231
wir können den Konvergenzradius nicht genau ausrechnen weil die Folge an nicht konkret angegeben ist kann das sein ?

Exakt das habe ich mit meinen Beispielen oben verdeutlicht. Freude

02.08.2017, 10:20

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
@Leopold

Naja, es gibt größere Katastrophen in der Problemdarlegung als ein $\begin{align*} p \end{align*}$ statt $\begin{align*} \varrho \end{align*}$ . Ein in weitgehend fehlerfreiem Deutsch und lesbaren Formeln abgefasster Beitrag (so wie hier) wird ja immer mehr zum seltenen Ereignis hier im Forum, insofern wird man da demütig. Augenzwinkern

Nun, Punkt und Komma fehlen in der Anfrage, und die Anrede "sie" ist kleingeschrieben. Aber in der Tat gibt es wesentlich Schlimmeres, und Stella231 gibt sich durchaus Mühe, verstanden zu werden. Mein Einwand war ja auch eher der Seufzer eines Traditionalisten. Körper heißen seit einiger Zeit F, und Konvergenzradien jetzt p. Wie gut nur, daß der englische Begriff für "Funktion" function ist. Lautete er method, dann begännen die mathematischen Übungsaufgaben wohl so: Gegeben sei die Funktion m ...
Was durch die gedankenlosen Übernahmen aus dem Englischen verloren geht, ist die selbsterklärende Suggestion und damit die Lesbarkeit mathematischer Texte.

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenzradius

Verwandte Themen