Krümmungsformel Beweis

01.08.2017, 18:17

Peanutping

Krümmungsformel Beweis

Hallo,
ich habe hier einen Beweis der Formel
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\rho}=\frac{\pm 1}{|f'(z_0)|}\operatorname{Re}\left(1+z_0\frac{f''(z_0)}{f'(z_0)}\right) \end{eqnarray*}$
vor mir liegen und ich versteh ihn nicht.
Vorraussetzungen: $\begin{eqnarray*} $z_0=1\ \text{und}\ f'(z_0)\neq 0$ \end{eqnarray*}$ , c Kreismittelpunkt mit $\begin{eqnarray*} $|\omega-c|=\rho$ \end{eqnarray*}$ , welcher das Bild des Kreisbogens enthält. f holomorph.
Wegen dem Schwarzschem Spiegelungsprinzip gilt:

$\begin{eqnarray*} (f(x)-c)\overline{(f(1/x)-c)}=\rho^2 \end{eqnarray*}$

1. Warum?

Durch ABleitung an der Stelle x=1 gilt:

$\begin{eqnarray*} f'(1)\overline{(f(1)-c)}=(f(1)-c)\overline{f'(1)} \end{eqnarray*}$

ODER äquivalent:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Im}\overline{f'(1)}(f(1)-c)=0,\ \ \operatorname{arg}(f(1)-c)\equiv\operatorname{arg}f'(1)\operatorname{mod}\pi \end{eqnarray*}$

2. Warum?

Weitere Ableitung liefert

$\begin{eqnarray*} f''(1)\overline{(f(1)-c)}-2|f'(1)|^2+2\overline{f'(1)}(f(1)-c)+\overline{f''(1)}(f(1)-c)=0 \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} 2\operatorname{Re}\overline{f''(1)}(f(1)-c)-2|f'(1)|^2+2\operatorname{Re}\overline{f'(1)}(f(1)-c)=0 \end{eqnarray*}$

3. Warum?
Es folgt weiter
$\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}((f''(1)+f'(1))\overline{(f(1)-c))}=|f'(1)|^2\notag. \end{eqnarray*}$

4. Warum?
Aus der dritten Geichung folgt nun,
$\begin{eqnarray*} 2\operatorname{Re}(f''(1)+f'(1))\overline{(f(1)-c)}=\operatorname{Re}\bigg((f''(1)+f'(1))|f(1)-c|\frac{\pm |f'(1)|}{f'(1)}\bigg)=\pm |f(1)-c|\operatorname{Re}\bigg((f''(1)+f'(1))\frac{|f'(1)|}{f'(1)}\bigg) \end{eqnarray*}$

5. Warum?
Deshalb gilt
$\begin{eqnarray*} \frac{\pm 1}{|f(1)-c|}=\frac{\operatorname{Re}\Big((f''(1)+f'(1))\frac{|f'(1)|}{f'(1)}\Big)}{|f'(1)|^2}=\frac{1}{|f'(1)|}\operatorname{Re}\bigg(1+\frac{f''(1)}{f'(1)}\bigg) \end{eqnarray*}$
6. Warum?

Tut mir leid, ich weiß das ist lang und ich hoffe das sprengt hier nicht i.einen Rahmen, aber ich wäre sehr dankbar für jede Hilfe

02.08.2017, 09:59

Leopold

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Du hast dir viel Mühe gegeben, hier irgendwelche Formeln einzutippen. Nur das Entscheidende fehlt: Was ist überhaupt die Aufgabe? Niemand kann dir helfen, wenn du nicht sagst, worum es überhaupt geht. Ich lese etwas von "Krümmung" und sehe ein $\begin{align*} \varrho \end{align*}$ , was vermutlich den Krümmungsradius angibt. Aber um welche Kurve geht es überhaupt? Was hat die holomorphe Funktion damit zu tun?

02.08.2017, 11:00

Peanutping

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Die Proposition lautet folgendermaßen:
Sei f holomorph in der Nähe von $\begin{eqnarray*} z_0=e^{it_0} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(z_0)\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} |z|=1 \end{eqnarray*}$ nahe $\begin{eqnarray*} e^{it_0} \end{eqnarray*}$ und lege f(z) in dem Kreisbogen eines Kreises mit Radius $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ . Dann ist die Krümmung des Kreisbogens gegeben durch obige Formel.

Entschuldigung... Ich dachte die Angaben oben wären ausreichend.

02.08.2017, 11:43

Leopold

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Zitat:

Original von Peanutping
Sei $\begin{eqnarray*} |z|=1 \end{eqnarray*}$ nahe $\begin{eqnarray*} e^{it_0} \end{eqnarray*}$ und lege f(z) in dem Kreisbogen eines Kreises mit Radius $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ .

Das ist unverständliches Deutsch. Den Anfang versuche ich noch zu enträtseln. Es soll wohl heißen: "Sei $\begin{align*} z \end{align*}$ mit $\begin{align*} |z|=1 \end{align*}$ nahe bei $\begin{align*} z_0 \end{align*}$ ". Aber der Rest sind nur deutsche Wörter ohne Sinn. Wer wird da wohin gelegt? Ich könnte mir vorstellen, daß der Bogen des Einheitskreises zwischen $\begin{align*} z_0 \end{align*}$ und $\begin{align*} z \end{align*}$ durch $\begin{align*} f \end{align*}$ abgebildet wird. Geht es dann um die Beschreibung der Bildkurve?

02.08.2017, 12:03

Peanutping

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Also die Bildkurve ist ein Kreisbogen aus einem Kreis mit Radius $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ mit Mittelpunkt wie oben bestimmt. Deine Interpretation mit dem Einheitskreis ist vollkommen richtig. Es geht konkret darum den Einheitskreis auf ein Zahnrad abzubilden mit einem Kreisbogen aus dem Kreis mit Radius 1 und einem Kreisbogen aus einem Kreis mit Radius $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ . Die beiden werden über Strecken aus Ursprungsgeraden miteinander verbunden. Es geht nun darum die Krümmung des zweiten Bogens herauszufinden.
Entschuldige aber lege=Konjunktiv liegen. smile

02.08.2017, 17:21

Leopold

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Zitat:

Original von Peanutping
Also die Bildkurve ist ein Kreisbogen aus einem Kreis mit Radius $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ mit Mittelpunkt wie oben bestimmt. Deine Interpretation mit dem Einheitskreis ist vollkommen richtig. Es geht konkret darum den Einheitskreis auf ein Zahnrad abzubilden mit einem Kreisbogen aus dem Kreis mit Radius 1 und einem Kreisbogen aus einem Kreis mit Radius $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ . Die beiden werden über Strecken aus Ursprungsgeraden miteinander verbunden. Es geht nun darum die Krümmung des zweiten Bogens herauszufinden.

Ich verstehe das nicht und gebe auf. Vielleicht findest du einen anderen Helfer.

Zitat:

Original von Peanutping
Entschuldige aber lege=Konjunktiv liegen. smile

und lege f(z) in dem Kreisbogen eines Kreises mit Radius $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$

Man kann etwas irgendwohin legen, oder es liegt irgendetwas irgendwo. Das sind zwei verschiedene Verben. Das erste ist transitiv, das zweite intransitiv. "lege" kann nur vom Verb "legen" kommen. Folgendes ist denkbar:

"Lege das Buch zur Seite."
Hier ist "lege" Imperativ.

"Ich lege das Buch zur Seite."
Hier ist "lege" Indikativ Präsens.

"Er behauptete, er lege niemals den Schlüssel in die Schublade."
Hier ist "lege" Konjunktiv Präsens.

(siehe Duden bei "Grammatik")

In deinem Satz wird "lege" mit einer Ortsbestimmung auf die Frage "wo?" verbunden: "lege f(z) in dem Kreisbogen". Das ist im Deutschen nicht möglich. Es könnte höchstens heißen: "lege f(z) in den Kreisbogen". Da wüßte ich aber nicht, was das mathematisch bedeuten soll. Ein sinnvoller Satz könnte auch mit "liegen" gebildet werden: "es liege f(z) in dem Kreisbogen" als Voraussetzung eines Satzes. Das kann man sich mindestens von der Geometrie her vorstellen. Ob das aber gemeint ist, weiß ich nicht.

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