Vollständige Induktion Teilbarkeit durch 7

02.08.2017, 17:24

BlackerTheBerry

Vollständige Induktion Teilbarkeit durch 7

Ich habe den Thread einfach mal hier geöffnet, da neben der Aufgabe auf dem Blatt auch noch Kombinatorik vermerkt war. Ansonsten wahrscheinlich einfach zu Algebra moven.

Also hier ist die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} $11^n - 4^n$ \end{eqnarray*}$

wobei für alle n gilt, dass sie Element der natürlichen Zahlen sind (müsste mit der 0 sein so wie ich meine Uni kenne). Und die Aussage die getroffen worden ist, ist dass der gezeigte Ausdruck immer ein vielfaches von 7 ist. Dies sollen wir nun mittels vollständiger Induktion beweisen und ich komme leider absolut keinen Schritt vorwärts. Darum bitte ich um Hilfe (in Form eines Ansatzes oder aber auch der gesamten Lösung, das steht dem Helfer offen)

mit freundlichen Grüßen
Erik

Algebra scheint mir hier tatsächlich angebrachter als Stochastik.
Im übrigen soll dann wohl die Behauptung bewiesen werden
$\begin{align*} 11^{n}-4^{n}=k\cdot 7 \end{align*}$ mit $\begin{align*} k\in \mathbb N \end{align*}$ ,
also eine Teilbarkeit für alle n.
Ich korrigiere insoweit auch den Titel.

02.08.2017, 18:15

HAL 9000

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Den Induktionsanfang $\begin{align*} n = 0 \end{align*}$ kriegst du sicher selber hin.

Hinweis für den Induktionsschritt $\begin{align*} n\to n+1 \end{align*}$ : Du musst nachweisen, dass

$\begin{align*} 11^{n+1} - 4^{n+1} = 11\cdot 11^n - 4\cdot 4^n = (7+4)\cdot 11^n - 4\cdot 4^n \end{align*}$

durch 7 teilbar ist. Dabei darfst du die Induktionsvoraussetzung nutzen, welche besagt, dass $\begin{align*} 11^n - 4^n \end{align*}$ durch 7 teilbar ist.

03.08.2017, 13:17

BlackerTheBerry

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Induktionsanfang ist selbsterklärend ja. Die Rechnung die du mir als Antwort geschrieben hast, habe ich auch schon auf Papier versucht. Problematisch ist es für mich nur, die $\begin{eqnarray*} $11^n - 4^n$ \end{eqnarray*}$ im Induktionsschritt zu separieren um sie zu ersetzen. Allerdings nehme ich mal an, dass das nicht zwangsweise notwendig ist und ich eher mit der Bedingung "durch 7 teilbar" arbeiten sollte. Ich melde mich nochmal wenn ich Fortschritt gemacht habe.

Übrigens Wunderschöner Name (genialer Film), und danke für die Antwort.

03.08.2017, 13:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von BlackerTheBerry
Problematisch ist es für mich nur, die $\begin{eqnarray*} $11^n - 4^n$ \end{eqnarray*}$ im Induktionsschritt zu separieren

Tja, genau dafür hatte ich ja bereits einen vorbereitenden Schritt getan, den ich eigentlich für einen Wink mit dem Zaunpfahl gehalten hatte - was er dann wohl doch nicht ist. Augenzwinkern

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