Bedingter Erwartungswert und Bedingte Verteilung

03.08.2017, 10:39	Hilfe9876	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingter Erwartungswert und Bedingte Verteilung Meine Frage: Seinen $\begin{eqnarray} X_1,...X_n \end{eqnarray}$ unabhängings auf {1,...N} $\begin{eqnarray} (N \in \mathbb N ) \end{eqnarray}$ gleichverteilt Bestimmen sie $\begin{eqnarray} P(X_1 \| max X_k) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E(X_1\| max X_k) \end{eqnarray}$ wobei für die max jeweils gilt k kleiner gleich n Meine Ideen: Ich gebe zu nach 30 min bin ich immernoch genauso weit wie vorher. Wie geh ich da ran? Skript hilft mir irg wie Null weiter..
03.08.2017, 11:04	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss hier nur geeignet "zählen": Zu berechnen ist $\begin{align} P\left(X_1=r \bigm\| \max_{k=1,\ldots,n} X_k = s\right) = \frac{P\left(X_1=r,\, \max\limits_{k=1,\ldots,n} X_k = s\right)}{P\left(\max\limits_{k=1,\ldots,n} X_k = s\right)} \end{align}$ . Offenkundig sind nur $\begin{align} s=1,\ldots,N \end{align}$ , und da auch nur $\begin{align} r=1,\ldots,s \end{align}$ von Interesse, für alle anderen $\begin{align} r \end{align}$ ist diese bedingte Wahrscheinlichkeit eh Null. Zunächst mal der Nenner: Es ist $\begin{align} P\left(\max_{k=1,\ldots,n} X_k = s\right) &= P\left(\max_{k=1,\ldots,n} X_k \leq s\right) - P\left(\max_{k=1,\ldots,n} X_k \leq s-1\right)\\ &= P\left(X_1\leq s,\ldots,X_n\leq s\right) - P\left(X_1\leq s-1,\ldots,X_n\leq s-1\right) = \frac{s^n-(s-1)^n}{N^n} \end{align}$ für alle $\begin{align} s=1,\ldots N \end{align}$ . Nun zum Zähler: Hier unterscheiden wir zwei Fälle: 1) $\begin{align} r=s \end{align}$ : $\begin{align} P\left(X_1=s,\, \max_{k=1,\ldots,n} X_k = s\right) = P\left(X_1=s,X_2\leq s,\ldots, X_n \leq s\right) = \frac{s^{n-1}}{N^n} \end{align}$ 2) $\begin{align} r=1,\ldots,s-1 \end{align}$ : $\begin{align} P\left(X_1=r,\, \max_{k=1,\ldots,n} X_k = s\right) = P\left(X_1=r,\, \max_{k=2,\ldots,n} X_k = s\right) = P\left(X_1=r\right)\cdot P\left(\max_{k=2,\ldots,n} X_k = s\right) = \frac{s^{n-1}-(s-1)^{n-1}}{N^n} \end{align}$ Damit gilt für $\begin{align} s=1,\ldots,N \end{align}$ die Darstellung $\begin{align} P\left(X_1=r \bigm\| \max_{k=1,\ldots,n} X_k = s\right) = \begin{cases} \frac{s^{n-1}-(s-1)^{n-1}}{s^n-(s-1)^n} &\;\mbox{für}\; r=1,\ldots,s-1\\ \frac{s^{n-1}}{s^n-(s-1)^n} &\;\mbox{für}\; r=s\\ 0 &\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{align}$ .

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