x*y Integral

03.08.2017, 13:18

Artjom

x*y Integral

Meine Frage:
Hey Matheboard Forum,
ich habe ein Problem und komme einfach nicht auf das Ergebniss. Übersehe irgendwas oder mir fehlt es an Wissen. Es geht um genauzusein eher um Mechanik und biaxiale Flächenträgheitsmomente (Iyx). Mein Problem liegt aber eher darin die Formel zu berechnung von biaxialen Flächenträgheitsmomenten (Iyx) zu verstehen.
Ich würde gerne die Flächenträgheitsmomente von einem Dreieck berechnen mit der Höhe:h und der Breite:b um die Formel die für Dreieckige Körper gegeben ist selber herzuleiten.
Nun Lautet die Formel für die biaxialen Flächenträgheitsmomente
Iyx= $\begin{eqnarray*} -\int_{(A)}^{} \! x*y \, dA \end{eqnarray*}$
Das Integral muss von dem Schwerpunkt des Körpers ausgehen also darf ich das Dreieck nicht beliebig verschieben. (Schwerpunkt Dreieck liegt bei 1/3h und 1/3b jeweils von dem rechten Winkel)

Meine Ideen:
Ich bin also von einem Dreieck ausgegangen mit den Folgenden Punkten im KOS: $\begin{eqnarray*} (-2/1) ; (1/1) ; (1/-2) \end{eqnarray*}$ . Zum verständniss, gerechnet habe ich aber mit den Variablen h und b.
Nun war meine Formel Iyx= $\begin{eqnarray*} \int_{(-2*b)/3}^{b/3} \! x*(-(h*x)/b-h/3 \, dA \end{eqnarray*}$
Statt y habe ich die Lineare Funktion des Dreieck eingesetzt.
Danach habe ich die Dicke jeweils rausgerechnet: dA=y*dx
y(Also die Dicke jeweils)=> $\begin{eqnarray*} (h*x)/b+(2*h)/3 \end{eqnarray*}$
Ich habe einfach meine Linearen Funktion von der Konstanten oben die den Dreieck schliesst abgezogen, so habe ich eine Funktion die dann die Dicke an dem jeweiligem Punkt angibt.
Nun sieht mein Integral wiefolgt aus: $\begin{eqnarray*} \int_{(-2*b)/3}^{b/3} \! x*(-(h*x)/b-h/3*((h*x)/b+(2*h)3) \, dx \end{eqnarray*}$
Aber damit komme ich nicht auf das gewünschte Ergebniss von $\begin{eqnarray*} (h^2*b^2)/72 \end{eqnarray*}$
(Das - vor dem Integral habe ich nicht beachtet weil ich erstmal auf das richtige Ergebniss kommen wollte.)
Mit meiner Rechnung komme ich auf $\begin{eqnarray*} -(h^2*b^2)/36. \end{eqnarray*}$
Könnte vllt mir jemand sagen was dadran falsch ist?

Im Prinzip hat man einen Dreieck mit der Breite b und Höhe h in einem Koordinaten System, dessen KOS Ursprung im Schwerpunkt ist. Und man braucht für die Diviationsmomente die biaxiale Flächenträgheitsmomente, die man mit der oben genanten Formel ausrechnet. Also $\begin{eqnarray*} \int_{(A)}^{} \! x*y \, dA \end{eqnarray*}$ auf den Dreieck anwenden.
Könnte mir das jemand erklären wie man das angehen soll?

MfG Artjom

03.08.2017, 14:57

klarsoweit

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RE: x*y Integral

Zitat:

Original von Artjom
Nun war meine Formel Iyx= $\begin{eqnarray*} \int_{(-2*b)/3}^{b/3} \! x*(-(h*x)/b-h/3 \, dA \end{eqnarray*}$

Abgesehen von einer fehlenden Klammer hast du doch da ein Flächenintegral. Angegeben hast du aber nur die Integrationsgrenzen für das x. Ausgehend von $\begin{eqnarray*} Ixy = \int_{A} \! x \cdot y \, dA \end{eqnarray*}$ mußt du schauen, daß deine Integrationsgrenzen zu der Lage deines Dreiecks passen.

Allerdings habe ich auch gewisse Zweifel, ob $\begin{eqnarray*} y(x) = -\frac h b x - \frac h 3 \end{eqnarray*}$ zu den Koordinaten deines Dreiecks paßt. Aus welchen Eckpunkten besteht denn jetzt dein Dreieck?

Zitat:

Original von Artjom
Danach habe ich die Dicke jeweils rausgerechnet: dA=y*dx
y(Also die Dicke jeweils)=> $\begin{eqnarray*} (h*x)/b+(2*h)/3 \end{eqnarray*}$
Ich habe einfach meine Linearen Funktion von der Konstanten oben die den Dreieck schliesst abgezogen, so habe ich eine Funktion die dann die Dicke an dem jeweiligem Punkt angibt.

Was du da mit dem "dA" machst und auch der weitere Teil (ich habe es wenigstens 10mal gelesen) erschließen sich mir nicht.

03.08.2017, 15:27

Artjom

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RE: x*y Integral
Hey klarsoweit,
mit dem dA meint man doch über die Fläche Integrieren. Das dx multipliziert mit den höhe der Funktion, dadurch ergibt sich dann die Fläche jeweils a*b. Also hab ich das dA dann ersetzt durch $\begin{eqnarray*} \frac{h*x}{b}+\frac{2*h}{3} *dx \end{eqnarray*}$ auf die Funktion komme ich indem ich die obere Konstante Funktion des dreiecks minus meine Lineare Funktion vom Dreieck rechne.
Die schiefe linie im Dreieck hat die Funktion: $\begin{eqnarray*} - \frac{h*x}{b} - \frac{h}{3} \end{eqnarray*}$ und die Konstante oben im Dreieck hat die Funktion: $\begin{eqnarray*} \frac{h}{3} \end{eqnarray*}$ .
Ich hab also $\begin{eqnarray*} \frac{h}{3} - (- \frac{h*x}{b} - \frac{h}{3} ) \end{eqnarray*}$ gerechnet um die Höhe des Dreiecks immer an jeweiligem dx zu haben.

Und deswegen dachte ich wenn ich die Höhen jeweils durch das dA berücksichtige kann ich die Integrationsgrenzen für x angeben. Dann hätte ich die Grenzen $\begin{eqnarray*} -\frac{2*b}{3} \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \frac{b}{3} \end{eqnarray*}$ und die y Grenzen durch die Höhe also meine hergeleitete Funktion berücksichtigt. Ist das so nicht korrekt?

MfG Artjom

03.08.2017, 15:42

klarsoweit

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RE: x*y Integral
Ohne jetzt auf Details deiner Überlegung einzugehen, lautet rein formal das Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_{A} \! x \cdot y \, dA = \int_{-h*x/b - h/3}^{h/3} \int_{-2b/3}^{b/3} x \cdot y ~dxdy \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt das Integral über y bildest, solltest du in die richtige Spur kommen. smile

03.08.2017, 19:44

Artjom

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RE: x*y Integral
Ohh dachte ich könnte nochmal meine Fragestellung bearbeiten, wegen den fehlenden Klammern und den fehlenden Brüchen. Sieht etwas unübersichtlich aus. Leider nicht mehr möglich.

Ich habe grade versucht wie du gesagt hast die Aufgabe über ein Doppelintegral zu lösen, aber kamm dennoch auf das Ergebniss. Ich habe die Integrale genau anders herum gewählt. Erst das Integral über y dann das Integral über x, weil ich dann im inneren Integral die Funktionen durch die grenzen rein bekomme und dann beim äußeren Integral sich die x aus den Funktionen kürzen. Man darf die doch vertauschen oder?
Wenn man die in der reinfolge rechnet wie du es angegeben hast : $\begin{eqnarray*} \int_{A} \! x \cdot y \, dA = \int_{-h*x/b - h/3}^{h/3} \int_{-2b/3}^{b/3} x \cdot y ~dxdy \end{eqnarray*}$ dann hab ich doch nach den beiden Integralen als Ergebniss irgendwas mit x stehen. Deswegen dachte ich man müsste zuerst das Integral mit den grenzen die Funktionen enthalten rechnen und danach das Integral mit Konstanten grenzen.
Verstehe ich das richtig?

Ich habe das eben folgendermaßen gerechnet:
1. Integrale vertauscht wegen dem oben genanten Grund:
$\begin{eqnarray*} \int_{-2b/3}^{b/3} \int_{-h*x/b - h/3}^{h/3} x \cdot y ~dydx \end{eqnarray*}$
2.y Integriert:
$\begin{eqnarray*} \int_{-2b/3}^{b/3} x \cdot \left[\frac{y^{2} }{2} \right]_{-h*x/b - h/3}^{h/3} ~dx \end{eqnarray*}$
3.Grenzen eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} \int_{-2b/3}^{b/3} x \cdot \left[\left(\frac{h^{2} }{18}\right)-\left(\frac{h^{2}\cdot x^{2} }{2\cdot b^{2} }+\frac{2\cdot h^{2}\cdot x }{6\cdot b}+\frac{h^{2} }{6} \right) \right]_{-h*x/b - h/3}^{h/3} ~dx \end{eqnarray*}$
4.mit x multipliziert:
$\begin{eqnarray*} \int_{-2b/3}^{b/3} \left(-\frac{h^{2}\cdot x^{3} }{2\cdot b^{2} }-\frac{2\cdot h^{2}\cdot x^{2} }{6\cdot b}-\frac{2\cdot h^{2}\cdot x }{18} \right) ~ dx \end{eqnarray*}$
5.Nach x Integrieren:
$\begin{eqnarray*} \left[-\frac{h^{2}\cdot x^{4} }{8\cdot b^{2} }-\frac{2\cdot h^{2}\cdot x^{3} }{18\cdot b}-\frac{2\cdot h^{2}\cdot x^{2} }{36} \right]_{-2b/3}^{b/3} \end{eqnarray*}$
6.Grenzen einsetzen:
$\begin{eqnarray*} \left(-\frac{h^{2}\cdot b^{4} }{648\cdot b^{2} }-\frac{2\cdot h^{2}\cdot b^{3} }{486\cdot b}-\frac{2\cdot h^{2}\cdot b^{2} }{324} \right)- \left(-\frac{16\cdot h^{2}\cdot b^{4} }{648\cdot b^{2} }+\frac{16\cdot h^{2}\cdot b^{3} }{486\cdot b}-\frac{8\cdot h^{2}\cdot b^{2} }{324} \right) \end{eqnarray*}$
7.Zusammenfassen:
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{15\cdot h^{2}\cdot b^{2} }{648}-\frac{18\cdot h^{2}\cdot b^{2} }{486}+\frac{6\cdot h^{2}\cdot b^{2} }{324} \right) \end{eqnarray*}$
8.Ergebniss:
$\begin{eqnarray*} \frac{h^{2}\cdot b^{2} }{216} \end{eqnarray*}$

Die richtige Formel für die biaxialen Flächenträgheitsmomente lautet aber : $\begin{eqnarray*} \frac{h^{2}\cdot b^{2} }{72} \end{eqnarray*}$
Finde in meiner Rechnung aber keinen Fehler.

MfG Artjom

04.08.2017, 08:50

klarsoweit

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RE: x*y Integral

Zitat:

Original von Artjom
Ich habe die Integrale genau anders herum gewählt. Erst das Integral über y dann das Integral über x, weil ich dann im inneren Integral die Funktionen durch die grenzen rein bekomme und dann beim äußeren Integral sich die x aus den Funktionen kürzen. Man darf die doch vertauschen oder?

Das Hinschreiben des Integrals war erst mal ein formaler Akt. Damit ist noch kein Verfahren oder eine Reihenfolge festgelegt, wie dieses dann zu berechnen ist. Natürlich ist das Integral über y zuerst zu rechnen.

Zitat:

Original von Artjom
3.Grenzen eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} \int_{-2b/3}^{b/3} x \cdot \left[\left(\frac{h^{2} }{18}\right)-\left(\frac{h^{2}\cdot x^{2} }{2\cdot b^{2} }+\frac{2\cdot h^{2}\cdot x }{6\cdot b}+\frac{h^{2} }{6} \right) \right]_{-h*x/b - h/3}^{h/3} ~dx \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nicht täusche, muß es heißen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-2b/3}^{b/3} x \cdot \left[\frac{h^2}{18} - \left(\frac{h^2 \cdot x^2 }{2 \cdot b^2} + \frac{2\cdot h^2 \cdot x}{6\cdot b} + \frac{h^2}{18} \right) \right] ~dx \end{eqnarray*}$

04.08.2017, 13:04

Artjom

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RE: x*y Integral
Hey klarsoweit,
genau das war der Fehler hab den total übersehen. Finger1

Hab jetzt das richtige Ergebniss danke dir.

Hmm aber das was ich davor mit einem Integral versucht habe, ist der Integral nicht über einen lösbar oder bin ich das falsch angegangen?

Und wenn das nicht über einen Integral lösbar ist, aus welchem Grund den?
Unser Professor hat mal ein Beispiel vorgerechnet mit der ( $\begin{eqnarray*} I_{y} = \int_{(A)}^{} \! x^{2} \, dA \end{eqnarray*}$ ) Formel und einem Rechteck (Breite=b, Höhe=h) als Fläche. Dort hat er nur über x Integriert mit den grenzen $\begin{eqnarray*} I_{y} = \int_{-\frac{b}{2} }^{\frac{b}{2} } \! x^{2} \, dA \end{eqnarray*}$ .
Und das dA geschrieben als: $\begin{eqnarray*} I_{y} = \int_{-\frac{b}{2} }^{\frac{b}{2} } \! x^{2}\cdot h \cdot dx \end{eqnarray*}$ .
Warum ist es in diesem Beispiel möglich das dA mit einem Integral zu lösen?

MfG Artjom

04.08.2017, 13:09

klarsoweit

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RE: x*y Integral
Nun ja, implizit hast du in diesem Fall so etwas:

$\begin{eqnarray*} \int_{(A)}^{} \! x^2 \, dA = \int_{-h/2}^{h/2} \int_{-\frac{b}{2} }^{\frac{b}{2} } \! x^2 \, dxdy = \int_{-\frac{b}{2} }^{\frac{b}{2} } \! x^2 \cdot h ~dx \end{eqnarray*}$

04.08.2017, 13:16

Artjom

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RE: x*y Integral
Achso stimmt jetzt seh ich das auch =D
Dann wurd uns das ziemlich gekürzt erklärt. Und ich habe die Aufgabe die ganze Zeit mit einem Integral versucht und das dA vollkommen schwachsinnig aufgelöst...

Alles klar dann wär das geklärt danke dir klarsoweit. Freude

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