Beschränktheit dieser rekursiv definierten Folge zeigen.

03.08.2017, 15:20

boris602

Beschränktheit dieser rekursiv definierten Folge zeigen.

Arbeite im Moment für die Nachklasur die Hausaufgaben durch zu denen wir auch die Lösungen haben.

Sei $\begin{eqnarray*} u_0:=3 ,\forall n\in \mathbb N , u_{n+1} :=\frac{1}{2} (u_n + \frac{5}{u_n} ) \end{eqnarray*}$

a) Zeigen Sie $\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N , u_n\geq \sqrt{5} \end{eqnarray*}$

Lösung: " Zuerst bemerken wir , dass die Glieder der Folge $\begin{eqnarray*} (u_n)_n \end{eqnarray*}$ positive sind. Für alle $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt : $\begin{eqnarray*} a^2+b^2\geq 2ab. \end{eqnarray*}$
Somit ist $\begin{eqnarray*} u_n^2+\sqrt{5}^2 \geq 2\sqrt{5} u_n \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} u_{n+1}=\frac{1}{2} (u_n+ \frac {5}{u_n}) \geq \sqrt {5} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N^+ \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} u_n=u_0=3> \sqrt {5} \end{eqnarray*}$ "

Soviel zur Gesamtlösung. Mein Problem liegt daran wie man nun überhaupt diesen Lösungsansatz bekommt, also $\begin{eqnarray*} a^2+b^2\geq 2ab \end{eqnarray*}$ . Ich kann mich noch dunkel daran erinnern, dass unser Tutor ohne eine wirkliche Erklärung die binomische Formel $\begin{eqnarray*} (a-b)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ benutzt hat um darauf zu kommen. Leider weiß ich beim besten Willen nicht wieso er urplötzlich diese benutzt hat(und ich weiß dass man danach auf die Lösung kommt). Wäre dankbar wenn mir jemand diesen Ansatz erklären könnte, da er mir nicht aus der Lösung hervorgeht.

03.08.2017, 15:26

klarsoweit

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RE: Beschränktheit dieser rekursiv definierten Folge zeigen.

Zitat:

Original von boris602
Mein Problem liegt daran wie man nun überhaupt diesen Lösungsansatz bekommt, also $\begin{eqnarray*} a^2+b^2\geq 2ab \end{eqnarray*}$ . Ich kann mich noch dunkel daran erinnern, dass unser Tutor ohne eine wirkliche Erklärung die binomische Formel $\begin{eqnarray*} (a-b)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ benutzt hat um darauf zu kommen.

Grundsätzlich darf man allgemeingültige Formeln verwenden. Eine Begründung, weswegen man diese nimmt, ist obsolet. Der Erfolg gibt einem recht. Augenzwinkern

Daß aus $\begin{eqnarray*} (a-b)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} a^2+b^2 \geq 2ab \end{eqnarray*}$ folgt, ist hoffentlich klar. smile

03.08.2017, 15:52

boris602

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das es irgendwie klappt, ist mir schon bewusst, aber dort muss ja mehr da hinter stecken , da ich beispielsweise nicht wüsste wie man beim bloßen hinschauen gleich diese wunderbare Idee entwickeln soll. Auch geht nicht hervor woher man das $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ einfach so in die binomische Formel packt . Da dieses $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ Ergebnis einer Abschätzung seien müsste, und ich nicht weiß woher es kommt und die Notwendigkeit einer Begründung ist für mich leider nicht obsolet.

03.08.2017, 16:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von boris602
da ich beispielsweise nicht wüsste wie man beim bloßen hinschauen gleich diese wunderbare Idee entwickeln soll.

Dahinter stecken eben Jahrzehnte oder sogar Jahrhunderte an Erfahrung. smile

Zitat:

Original von boris602
Da dieses $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ Ergebnis einer Abschätzung seien müsste, und ich nicht weiß woher es kommt

Nochmal: daß (a - b)² >= 0 ist, liegt auf der Hand. Der Rest folgt daraus.

03.08.2017, 16:15

IfindU

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RE: Beschränktheit dieser rekursiv definierten Folge zeigen.
Vielleicht ist es so natürlicher:
Wir wollen $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 (u_n + \frac{5}{u_n} ) \end{eqnarray*}$ abschätzen. Auf einen Bruch gebracht ergibt dies $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 ( \frac { u^2_n +5 } {u_n} ) \end{eqnarray*}$ . Jetzt kann man eine quadratische Ergänzung benutzen: $\begin{eqnarray*} u_n^2 + 5 = (u_n)^2 + (\sqrt 5)^2 = (u_n)^2 - 2 \cdot u_n \cdot \sqrt 5 + (\sqrt 5)^2 + 2 \cdot u_n \cdot \sqrt 5 \end{eqnarray*}$ . Die ersten drei Terme sind exakt so erwetiert worden, so dass dort $\begin{eqnarray*} (u_n)^2 - 2 \cdot u_n \cdot \sqrt 5 + (\sqrt 5)^2 =(u_n - \sqrt 5)^2 \end{eqnarray*}$ steht. Also hat man $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 ( \frac { u^2_n +5 } {u_n} ) = \frac 1 2 ( \frac {(u_n - \sqrt 5)^2 + 2 \cdot u_n \cdot \sqrt 5 } {u_n} ) \end{eqnarray*}$ .

Nun benutzt man die Abschätzung $\begin{eqnarray*} (u_n - \sqrt 5)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ und bekommt ebenfalls die gewuenschte Abschätzung.

Edit:
Oder offenbar ist $\begin{eqnarray*} \frac 1 2 (u_n + \frac{5}{u_n} ) = f(u_n) \end{eqnarray*}$ fuer $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac 1 2 (x + \frac{5}{x} ) \end{eqnarray*}$ . Man kann nun eine Kurvendiskussion fuer $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ machen und das Minimum fuer $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

03.08.2017, 16:42

boris602

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Die Idee mit den Minimum ist sehr interessant, da diese tatsächlich $\begin{eqnarray*} \sqrt{5} \end{eqnarray*}$ in den reelen Zahlen liefert(hatten zu diesem Zeitpunkt jedoch noch nicht dieses Thema angeschnitten, durften es demnach nicht anwenden). Aber scheinbar wollten die einen anderen Lösungsweg. Bin gerade im Internet auf Satz (Babylonische Wurzelfunktion) gestoßen die für arithmetisch-geometrische Mittel aussagt , dass für $\begin{eqnarray*} a,b>0, \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \end{eqnarray*}$ gilt. Wenn man dies anwendet kommt man scheinbar auch auf den gesuchten Grenzwert (Quelle : https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3...Folgen_beweisen)

Haben wir zwar in der Vorlesung nicht gehabt , aber es scheint der einzige logische Lösungsweg zu seien

03.08.2017, 17:22

HAL 9000

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Zitat:

Original von boris602
aber es scheint der einzige logische Lösungsweg zu seien

Das ist vielleicht deine subjektive Meinung. Tatsächlich gibt es unzählige Möglichkeiten, das hier nun mehrfach (in Variationen) diskutierte $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab} \end{eqnarray*}$ nachzuweisen, nicht nur eine "einzig logische". Augenzwinkern

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