Konvergenzradius

03.08.2017, 18:27

Stella231

Konvergenzradius

Meine Frage:
Hi ich muss denn Konvergenzradius von :

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{2n+1} *x^{2n+1} \end{eqnarray*}$

bestimmen.

Meine Ideen:
Ich bin wie folgt vorgegangen :

$\begin{eqnarray*} x* \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{2n+1} *x^{2n} \end{eqnarray*}$ =

= $\begin{eqnarray*} x* \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{(-1)^{n}}{2n+1} *(x^{2})^{n} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} x* \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{(-x^2)^{n}}{2n+1} \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} x* \sum\limits_{k=0}^{\infty } (\frac{(-x^2)}{\sqrt[n]{2n+1} })^{n} < \infty \end{eqnarray*}$

wenn $\begin{eqnarray*} |\frac{(-x^2)}{\sqrt[n]{2n+1} }| < 1 \end{eqnarray*}$

im nenner können wir den Betrag weglassen und im zähler gilt |-x^2| =x^2

also $\begin{eqnarray*} x^{2} < \sqrt[n]{2n+1} \end{eqnarray*}$ wenn wir nun n gegen unendlich streben lassen haben wir $\begin{eqnarray*} x^{2} < 1 \end{eqnarray*}$
und daraus folgt x < 1
also ist der Konvergenzradius 1 stimmt das ?

04.08.2017, 08:59

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius
Zunächst einmal sollte dein Laufindex in der Summe n sein und nicht k.
Im Prinzip ist dein Vorgehen ok. Du kannst aber auch z = x² substituieren und dann die Cauchy-Hadamard-Formel verwenden. smile

04.08.2017, 12:59

Stella231

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RE: Konvergenzradius
Ok super danke !

Also die Reihe ist doch nun für x<1 Konvergent oder für |x| <1 ? verwirrt

04.08.2017, 13:13

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius
Für |x| < 1 . Das besagt ja eben der Konvergenzradius .
Bei x < 1 müßte die Reihe auch für x=-2 konvergieren, was offensichtlich nicht der Fall ist.
Im übrigen konvergiert die Reihe auch für einen der beiden Randpunkte.

04.08.2017, 13:38

Stella231

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RE: Konvergenzradius
In meiner Rechnung bin ich ja auf x<1 gekommen ...
also muss ich dann noch ein Betrag dazu setzen weil das nun mal der Konvergenzradius möchte ?

Und noch eine frage hätte ich noch..

Ich müsste dann noch zeigen das die Reihe in (-1,1) Differenzierbar ist aber da der Konvergenzradius |x| <1 ist
Ist es doch Differenzierbar oder ? Folgt eigentlich aus Konvergenz Differenzierbarkeit ? verwirrt

Ich müsste dann halt noch zeigen das die Reihe = arctan ist

04.08.2017, 14:10

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von Stella231
In meiner Rechnung bin ich ja auf x<1 gekommen ...
also muss ich dann noch ein Betrag dazu setzen weil das nun mal der Konvergenzradius möchte ?

Sorry, das habe ich übersehen. Aus x² < 1 folgt nur |x| < 1 und nicht x < 1, wie man auch an dem Beispiel x=-2 leicht sehen kann.

Zitat:

Original von Stella231
Ich müsste dann noch zeigen das die Reihe in (-1,1) Differenzierbar ist aber da der Konvergenzradius |x| <1 ist
Ist es doch Differenzierbar oder ? Folgt eigentlich aus Konvergenz Differenzierbarkeit ? verwirrt

Potenzreihen sind auf ihrem Konvergenzintervall differenzierbar.

04.08.2017, 16:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von klarsoweit
Im übrigen konvergiert die Reihe auch für einen der beiden Randpunkte.

Sogar für beide Randpunkte. Augenzwinkern

06.08.2017, 13:35

Stella231

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Ok also da die Reihe in (-1,1) Konvergent ist und R>0 ist ist die Potenzreihe gleichmäßig Konvergent also ist die Reihe im Konvergenzradius DIfferenzierbar was aus der gleichmäßigen Konvergenz folgt..

Bekannterweise ist die ableitung von arctan = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$

und die ableitung von der Reihe für |x|<1 ist auch genau $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$

somit habe ich gezeigt das für alle |x| <1 die Ableitungen übereinstimmen habe ich somit gezeigt das die Reihe und die Funktion gleich sind ?

Übrigens die Reihe die wir haben ist doch die Taylorreihe zu arctan oder ? verwirrt

06.08.2017, 16:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von Stella231
Bekannterweise ist die ableitung von arctan = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x} \end{eqnarray*}$

Eher wohl $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ . smile

Zitat:

Original von Stella231
somit habe ich gezeigt das für alle |x| <1 die Ableitungen übereinstimmen habe ich somit gezeigt das die Reihe und die Funktion gleich sind ?

Die müssen auch in wenigstens einen Punkt übereinstimmen.

Zitat:

Original von Stella231
Übrigens die Reihe die wir haben ist doch die Taylorreihe zu arctan oder ? verwirrt

Ja.

06.08.2017, 22:06

Stella231

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Warum muss ich noch zeigen das die wenigstens in einem Punkt Übereinstimmen ?
Sorry wenn das ne dumme frage ist .. verwirrt

Ubd gilt für gleichmäßig Konvergente Folgen das die Stetig und Differenzierbar sind ?

07.08.2017, 08:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von Stella231
Warum muss ich noch zeigen das die wenigstens in einem Punkt Übereinstimmen ?

Wenn zwei Funktionen die gleiche Ableitung haben, können sie sich um eine Konstante unterscheiden. Für Gleichheit muß man also zeigen, daß die Konstante Null ist.

Zitat:

Original von Stella231
Ubd gilt für gleichmäßig Konvergente Folgen das die Stetig und Differenzierbar sind ?

Potenzreihen sind auf ihrem Konvergenzintervall stetig und differenzierbar.

07.08.2017, 10:19

Stella231

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Ich muss zeigen das die Konstante gleich 0 ist ? Muss ich nicht eher zeigen das die Konstanten gleich sind ?

Dann würde ich einfach 0 einsetzen für arctan und für die Reihe und da würde 0 rauskommen wegen tan(0)= 0
Ist äquivalent mit 0 = arctan(0) und für die Reihe ist es ja eh 0 stimmt das so?

07.08.2017, 10:21

Stella231

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Kann ich nicht auch einfach 1 einsetzen?

07.08.2017, 10:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von Stella231
Ich muss zeigen das die Konstante gleich 0 ist ? Muss ich nicht eher zeigen das die Konstanten gleich sind ?

Es gibt hier nur eine Konstante, nämlich die Differenz zwischen arctan(x) und der Reihe.

Zitat:

Original von Stella231
Dann würde ich einfach 0 einsetzen für arctan und für die Reihe und da würde 0 rauskommen wegen tan(0)= 0
Ist äquivalent mit 0 = arctan(0) und für die Reihe ist es ja eh 0 stimmt das so?

Ja.

Zitat:

Original von Stella231
Kann ich nicht auch einfach 1 einsetzen?

Wenn du so ohne Weiteres den Reihenwert für x=1 angeben kannst. smile

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