Beweis Vektorprodukt ( Lagrange Identität )

03.08.2017, 21:32

Das_asdf_Wort

Beweis Vektorprodukt ( Lagrange Identität )

Hallo

Es geht um einen Beweis im Buch "Lineare Algebra - Jänich" S. 73.

Gegeben sind die Definitionen

(1) $\begin{eqnarray*} \vec{v} \times \vec{u} = - \vec{u} \times \vec{v} \end{eqnarray*}$
(2)Sind u und v senkrecht aufeinander stehende Einheitsvektoren, so wird das Paar ( u,v) durch "u x v" zu einer rechtshändigen Orthonormalbasis ergänzt.
(3) $\begin{eqnarray*} \vec{u} \times \vec{u} = 0 \end{eqnarray*}$
(4) $\begin{eqnarray*} \vec{x} \times \vec{y} = \vec{z} \end{eqnarray*}$
(5) Hier kommt die allbekannte Formel für das Kreuzprodukt, die sich durch die oben genannten Definitionen ergibt.

Den Beweis der nächsten Gleichung verstehe ich nicht: $\begin{eqnarray*} (\vec{u} \times \vec{v})*(\vec{v} \times \vec{v'}) = (\vec{u}*\vec{u'})*(\vec{u'}*\vec{v'})-(\vec{u}*\vec{v'})*(\vec{v}*\vec{u'}) \end{eqnarray*}$
Das explizite nachrechnen hat mich zu viel Papier gekostet. Nachrechnen konnte ich es mit der zyklischen Vertauschung der Spatproduktes und schlussendlich mit der Lagrange Identität. Beides kommt im Buch erst viel später.
Der Beweis lautet kurz und knackig:
"Man kann sie entweder nachrechnen oder sich so uberlegen: beide Seiten der zu beweisenden Gleichung (6) sind in jeder der vier Variablen linear, also brauchen wir (6) nur für $\begin{eqnarray*} u, u', v, v' \in {x,y,z} \end{eqnarray*}$ nachzuprüfen. Fur $\begin{eqnarray*} \vec{u} = \vec{v} \end{eqnarray*}$ sind sowieso beide Seiten Null, also dürfen wir $\begin{eqnarray*} \vec{u} \neq \vec{v} \end{eqnarray*}$ ' annehmen, aus Symmetriegrunden bleiben deshalb für $\begin{eqnarray*} (\vec{u}, \vec{v}, \vec{u'}, \vec{v'}) \end{eqnarray*}$ oBdA nur noch die beiden Fälle (x, y,x, y) und (x,y,y,z) zu prufen ubrig, im erst en sind beide Seiten 1, im zweiten Null, und (6) ist schon verifiziert."

Ich verstehe hierbei nicht, was er genau meint mit " $\begin{eqnarray*} (\vec{u}, \vec{v}, \vec{u'}, \vec{v'}) \end{eqnarray*}$ oBdA nur noch die beiden Fälle (x, y,x, y) und (x,y,y,z)" Was beschreiben die beiden Fälle, bildliche ausgesprochen oder rechnerisch schön dargestellt?

03.08.2017, 22:24

Das_asdf_Wort

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RE: Beweis Vektorprodukt ( Lagrange Identität )
Vor lauter latex ist mir natürlich wieder ein Fehler passiert. Editieren ist nicht mehr möglich unglücklich

Die Gleichung sollte natürlich
$\begin{eqnarray*} (\vec{u} \times \vec{v})*(\vec{u'} \times \vec{v'}) = (\vec{u}*\vec{u'})*(\vec{v}*\vec{v'})-(\vec{u}*\vec{v'})*(\vec{v}*\vec{u'}) \end{eqnarray*}$ heissen

04.08.2017, 10:32

Huggy

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RE: Beweis Vektorprodukt ( Lagrange Identität )

Zitat:

Original von Das_asdf_Wort
"Man kann sie entweder nachrechnen oder sich so uberlegen: beide Seiten der zu beweisenden Gleichung (6) sind in jeder der vier Variablen linear, also brauchen wir (6) nur für $\begin{eqnarray*} u, u', v, v' \in {x,y,z} \end{eqnarray*}$ nachzuprüfen.

Mit $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ sind offenbar die kanonischen Einheitsvektoren $\begin{eqnarray*} \vec e_x= (1,0,0), \vec e_y=(0,1,0), \vec e_z =(0,0,1) \end{eqnarray*}$ gemeint.

Zitat:

Fur $\begin{eqnarray*} \vec{u} = \vec{v} \end{eqnarray*}$ sind sowieso beide Seiten Null, also dürfen wir $\begin{eqnarray*} \vec{u} \neq \vec{v} \end{eqnarray*}$ ' annehmen

Das gilt natürlich auch für $\begin{eqnarray*} \vec u' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec v' \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

aus Symmetriegrunden bleiben deshalb für $\begin{eqnarray*} (\vec{u}, \vec{v}, \vec{u'}, \vec{v'}) \end{eqnarray*}$ oBdA nur noch die beiden Fälle (x, y,x, y) und (x,y,y,z) zu prufen ubrig

Für $\begin{eqnarray*} \vec u \end{eqnarray*}$ genügt es also, einen der kanonischen Einheitsvektoren einzusetzen. Da man diese ineinander umbenennen kann, genügt es o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} \vec u = \vec e_x \end{eqnarray*}$ zu wählen. Für $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ ist nun einer beiden anderen kanonischen Einheitsvektoren zu wählen. Mit derselben Begründung wie vorher kann man o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} \vec v= \vec e_y \end{eqnarray*}$ wählen.
Für $\begin{eqnarray*} \vec u' \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \vec v' \end{eqnarray*}$ könnte man nach der getroffenen Wahl für $\begin{eqnarray*} \vec u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \vec e_z \end{eqnarray*}$ einsetzen. Man sieht aber leicht, dass dann beide Seiten Null werden. Dieses Teilargument hat der Autor als zu trivial wohl weggelassen. Es bleibt also nur $\begin{eqnarray*} \vec u' = \vec e_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec v' =\vec e_y \end{eqnarray*}$ oder umgekehrt. Das ist mit der Kurzschreibweise des Autors gemeint.

13.08.2017, 18:04

Das_asdf_Wort

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RE: Beweis Vektorprodukt ( Lagrange Identität )
Hallo

Ich habe das ganze probierz zu reproduzieren, jedoch ohne Erfolg.

Zitat:

Original von Huggy

Da man diese ineinander umbenennen kann, genügt es o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} \vec u = \vec e_x \end{eqnarray*}$ zu wählen.

Mir ist nicht ganz klar, was "ineinander umbennen" in diesem Fall bedeutet.

Weiter schaffe ich es nicht, das nach dem Prinzip umzuformen.
Nehmen wir an. $\begin{eqnarray*} \vec{u}=e_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v}=e_y \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \vec{u'}=e_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v'}=e_y \end{eqnarray*}$ .
Dann wäre es $\begin{eqnarray*} (e_x \times e_y)(e_x \times e_y) \end{eqnarray*}$ . Wie komme ich von hier auf $\begin{eqnarray*} (\vec{u}*\vec{u'})*(\vec{v'}*\vec{v'})-(\vec{u}*\vec{v'})*(\vec{v}*\vec{u'}) \end{eqnarray*}$ oder von mir aus auf $\begin{eqnarray*} (e_x*e'_x)*(e_y*e'_y)-(e_x*e'_y)*(e_y*e'_x) \end{eqnarray*}$

14.08.2017, 07:55

Huggy

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RE: Beweis Vektorprodukt ( Lagrange Identität )

Zitat:

Original von Das_asdf_Wort
Mir ist nicht ganz klar, was "ineinander umbennen" in diesem Fall bedeutet.

Man könnte z.B. die x-Achse in y_Achse umbenennen, die y-Achse in z-Achse und die z-Achse in x-Achse.

Zitat:

Weiter schaffe ich es nicht, das nach dem Prinzip umzuformen.
Nehmen wir an. $\begin{eqnarray*} \vec{u}=e_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v}=e_y \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \vec{u'}=e_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{v'}=e_y \end{eqnarray*}$ .
Dann wäre es $\begin{eqnarray*} (e_x \times e_y)(e_x \times e_y) \end{eqnarray*}$ . Wie komme ich von hier auf $\begin{eqnarray*} (\vec{u}*\vec{u'})*(\vec{v'}*\vec{v'})-(\vec{u}*\vec{v'})*(\vec{v}*\vec{u'}) \end{eqnarray*}$ oder von mir aus auf $\begin{eqnarray*} (e_x*e'_x)*(e_y*e'_y)-(e_x*e'_y)*(e_y*e'_x) \end{eqnarray*}$

Du sollst hier nicht umformen, sondern beide Seiten ausrechnen. Z.B. links

$\begin{eqnarray*} (e_x \times e_y)=e_z \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} (e_x \times e_y)(e_x \times e_y)=e_z \cdot e_z =1 \end{eqnarray*}$

Jetzt rechnest du die rechte Seite aus und die sollte auch 1 ergeben.

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