Lebesguemaß und Kegel

04.08.2017, 10:48	Alpha99	Auf diesen Beitrag antworten »
Lebesguemaß und Kegel Meine Frage: Hallo, folgende Aussage steht in meinem Skript: $\begin{eqnarray} A \in H_{t} \end{eqnarray}$ ist eine Borelmenge in $\begin{eqnarray} H_{t} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} [0,A]={\alpha x : x \in A, \alpha \in [0,1]} \end{eqnarray}$ ist Kegel mit Spitze 0 und Basis A. $\begin{eqnarray} \lambda_{d} ([0,A])=\int_{[0,A]}^{} \! \, dx =\int_{0}^{t} \! \int_{A\cap H_{z}}^{} \! \, dy \, dz = \int_{0}^{t} \! V_{d-1}([0,A]\cap H_{z}) \, dz =\int_{0}^{t} \! V_{d-1}(zA) \, dz = \int_{0}^{t} \! z^{d-1}V_{d-1}(A) \, dz = V_{d-1}(A)\int_{0}^{t} \! z^{d-1} \, dz = \frac{1}{d} t^{d}V_{d-1}(A) \end{eqnarray}$ Folgende drei Dinge sind mir nicht klar: 1. Warum wird im dritten Schritt das Volumen von $\begin{eqnarray} V_{d-1} \end{eqnarray}$ benutzt und nicht $\begin{eqnarray} V_{d} \end{eqnarray}$ ? 2. Warum wird im vierten Schritt aus $\begin{eqnarray} [0,A]\cap H_{z} \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} zA \end{eqnarray}$ ? 3. Warum ist dann im fünften Schritt $\begin{eqnarray} z^{d-1} \end{eqnarray}$ ausgeklammert und nicht $\begin{eqnarray} z^{d} \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: zu 1. kann es sein, dass $\begin{eqnarray} V_{d-1} \end{eqnarray}$ genommen wird, weil die Spitze vom Kegel im Ursprung liegt bzw. generell einzeln betrachtet wird? Dies könnte auch zu 3. passen, dass die Dimension d-1 betrachtet wird?
05.08.2017, 00:19	Dukkha	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lebesguemaß und Kegel Hallo, Du musst schon erklären was $\begin{eqnarray} V_d, H_t, H_ z, t \end{eqnarray}$ sind. Ich gehe davon aus, mit $\begin{eqnarray} \lambda_d \end{eqnarray}$ ist das $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ -dimensionale Lebesguemass gemeint und mit $\begin{eqnarray} V_d \end{eqnarray}$ einfach das $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ -Volumen. Wenn $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ die Höhe sein soll, dann verstehe ich dein Ergebnis nicht, warum $\begin{eqnarray} t^d \end{eqnarray}$ ? Wir nehmen $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ als die Höhe des Kegels. Der Kegel ist dann bei dir definiert als Menge $\begin{eqnarray} [0,A]=\{ax,(1-a)h): x\in A, 0\leq a \leq 1 \} \end{eqnarray}$ , wir kriegen also bei $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ genau den Punkt $\begin{eqnarray} (0,h) \end{eqnarray}$ Wenn es sich bei $\begin{eqnarray} V_{d-1} \end{eqnarray}$ einfach um das Volumen (also das $\begin{eqnarray} d-1 \end{eqnarray}$ -dimensionale Lebesguemass) handelt, dann musst du bei der 3ten Ungleichung ein $\begin{eqnarray} V_{d-1} \end{eqnarray}$ haben, ansonsten würdest du einmal zu viel integrieren. Du möchtest doch das Volumen der Dimension $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ und nicht das Integral nochmals angewendet auf das Volumen der Dimension $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ . (Was ja dann ein Volumen der Dimension $\begin{eqnarray} d+1 \end{eqnarray}$ gibt. Zu Punkt 3: Warum soll $\begin{eqnarray} V_{d-1}(zA)=z^{d-1}V_{d-1}(A) \end{eqnarray}$ nicht gelten? Wir nehmen ja das $\begin{eqnarray} d-1 \end{eqnarray}$ Mass und nicht das $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ -dimensionelle. Der zweite Punkt verstehe ich auch nicht, ohne Kenntnisse über $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ . Es geht dort um eine Parametrisierung, die ich aber nicht kenne. Ich kenne einen Weg über eine andere Parametrisierung, über die Höhe $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ . Das Prinzip ist aber das gleiche, ich hoffe das hilft dir weiter um deine Aufgabe zu verstehen: Wir setzen $\begin{eqnarray} (1-a)h=t \end{eqnarray}$ , dann folgt für den Kegel $\begin{eqnarray} \{(1-\frac{t}{h})A: 0\leq t \leq h \} \end{eqnarray}$ Dann wird dein Integral: $\begin{eqnarray} \lambda_{d} ([0,A])=\int_{[0,A]}^{} \! \, dx =\int_{0}^{h} V_{d-1}((1-\frac{t}{h})A) \mathrm{d}t = V_{d-1}(A) \int_{0}^{h} (1-\frac{t}{h})^{d-1} \mathrm{d}t \end{eqnarray}$ substituiere $\begin{eqnarray} z:=(1-\frac{t}{h}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = -V_{d-1}(A)\cdot h \int_{1}^{0} z^{d-1} \mathrm{d}z = V_{d-1}(A)\cdot h \int_{0}^{1} z^{d-1} \mathrm{d}z= V_{d-1}(A) \frac{h}{d} \end{eqnarray}$ Also ohne ein hoch $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$

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