Komplexe exp-Funktion

Neue Frage »

Mathema Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe exp-Funktion
Hallo,

mein nächstes Kapitel geht um die komplexe e-Funktion. Die ersten Aufgaben konnte ich problemlos lösen. Nun geht es erstmal um die Aufgaben:

[attach]45017[/attach]

Das scheint mir auch kein Problem zu sein. Nur die Frage: Muss ich hier denn wirklich wieder und finden und die C-R.e prüfen, oder soll das wieder nur eine Übung sein? Das sind noch nur Verkettungen von analytischen Funktionen und, dass die die komplexe exp-Funktion analytisch ist, wurde mir in diesem Kapitel verraten (bzw. so wurde sie definiert):

[attach]45018[/attach]

Also wäre doch 14 und 16 für alle analytisch und 15 für alle . Und dann könnte ich die Funktionen doch ganz normal nach differenzieren, oder nicht? Also bei 14:

IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: komplexe exp-Funktion
Ich nehme mal, die C-R-Gleichungen prüfen ist selbst nur eine Übung. Allerdings sehe ich auf den Bildern nirgendwo, dass gezeigt wurde, dass . Die komplexe Verallgemeinerung muss dies ja nicht erfüllen. Also solltest du das erst einmal zeigen, bevor du bei 14) mit der Kettenregel argumentieren darfst.

Zur 15: Abstrakt mit Verkettung von analytischen Funktionen zu argumentieren, bringt dir eine `domain of analyicity' von . Es könnte aber sein, dass exp eine glättende Wirkung hat. Es könnte ganz sein. So ist analytisch auf ganz , wenn. Das könnte in ähnlicher Form auch bei exp eintreten.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen IfindU,

also die komplexe Ableitung wurde schon auch noch gezeigt:

[attach]45023[/attach]

Hmm Ok, auf so eine Idee bin ich bei 15 nicht gekommen. Also müsste ich hier doch wieder umschreiben?



Nun sind und ja reell, dürfen also nicht beide Null sein. Somit bleibt es dann bei .

Dann habe ich noch 2 Aufgaben gemacht:

Bei der ersten soll ich die fünfte Ableitung von bestimmen. Dazu kann ich ja folgendes Lemma nutzen:

[attach]45025[/attach]



Und somit dann





Das sollte so passen, oder?

Dann noch folgenden Aufgabe:

[attach]45026[/attach]

Da war mein Ansatz denn einfach einzusetzen und nachzurechnen:



Und dann komplex-konjugiert erweitert:







Da habe ich ja nun die b) gleich mitgemacht. Gibt es also noch eine andere (vll kürzere) Möglichkeit bei a) ? Die andere Frage bei a) bezieht sich auf eine Aufgabe im Kapitel "Harmonische Funktionen", die ich aber nicht gemacht hatte:

[attach]45027[/attach]

Naja laut dieser Aufgabe erfüllen ja Realteil und Imaginärteil einer analytischen Funktion diese Gleichung. Und ist analytisch auf . Oder was wollen die hier hören?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das erste sieht gut aus. Ich haette wohl einfach gezeigt, dass die Funktion nicht in stetig ist. Dafuer einfach fuer eine reelle Nullfolge genommen. Dann ist man direkt im Reellen und man weiss wie aussieht.

Das zweite sieht richtig aus.

Beim dritten wuered ich nicht die Sinus/Cosinus-Darstellung benutzen. Es gilt (warum?) und damit

Ich denke das macht die Rechnung etwas kompakter, aber es ist das gleiche was du gemacht hast.

Und es kann sein, dass die das hoeren wollen. Man haette es sicher anders formuliert, wenn man wollte dass du dir die Haende wundschreibst beim expliziten nachrechnen.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo IfindU,

vielen Dank!

Zitat:
Es gilt (warum?)




Zitat:
Beim dritten wuered ich nicht die Sinus/Cosinus-Darstellung benutzen.


Ok - das hatte ich auch erst versucht. Ich hatte aber die schöne Formel , die du ja dann im Nenner verwendest, nicht mehr auf dem Schirm irgendwie. Wenn ich jetzt den Nenner vereinfachen möchte, dann müsste ich aber in die Sinus/Cosinus-Darstellung wechseln um Real- und Imaginärteil zu trennen, oder? Also:

IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus. Es gilt übrigens allgemeiner mit praktisch dem gleichen Beweis.

Und ich denke am Ende wird man Eulers Identitaet benutzen muessen. Aber wenigstens rechnet es sich im Zaehler ein wenig schoener.
 
 
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ja - das habe ich gemerkt, ging wirklich viel schöner zu rechnen! Perfekt - dann gucke ich mir nächste Woche mal die trigonometrischen Funktionen und den Logarithmus an.

Dir noch einen schönen Abend!
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »