Nach n auflösen?

04.08.2017, 14:36	Noob2	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach n auflösen? Meine Frage: Intro: Ich wollte zeigen dass Sum( 1/(4^n) ) absolunt konvergiert und wollte dazu das Cauchy Kriterium wählen, auch wenn es einfachere Wege gibt. Mein Ansatz: wenn \| Sum von n=n' bis m von der Folge \| < E, dann also konvergent. Da die Folge ja monoton fallend ist muss ich nur n' finden so dass die Summer der Folgenglieder kleiner E ist. Ergo: (m-n') * 1/(4^n') < E. Da 1/4^n' das grösste Folgenglied ist müsste das richtig sein, jetzt würde ich gerne nach n' auflösen ( von Epsilon abhängig berechnen). Jedoch gelingt es mir nicht recht...Mangelnde Kentnisse vom Log? Kann mir jemand Schrittweise helfen? Danke im Vorraus. Meine Ideen: Bereits beschrieben
04.08.2017, 14:55	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nach n auflösen? Es gibt keine geschlossene Formel, um $\begin{align} (m-n') \cdot \frac 1 {4^{n'}} < \epsilon \end{align}$ nach $\begin{align} n' \end{align}$ aufzulösen. Mit der Lambertschen W-Funktion kannst Du eventuell weiterkommen. Viele Grüße Steffen
04.08.2017, 15:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Vor allem bringt das alles nichts, da die Abschätzung $\begin{align} \sum_{n=n'}^m \frac{1}{4^n} \leq (m-n')\cdot \frac{1}{4^{n'}}\quad () \end{align}$ viel zu grob ist, um die Cauchy-Konvergenz nachzuweisen: Bei festem $\begin{align} n' \end{align}$ wächst die rechte Seite von () für $\begin{align} m\to \infty \end{align}$ unbeschränkt. Zielführender wäre Abschätzung $\begin{align} \sum_{n=n'}^m \frac{1}{4^n} = \frac{4}{3} \left( \left( \frac{1}{4} \right)^{n'} - \left( \frac{1}{4} \right)^{m+1} \right) < \frac{4}{3\cdot 4^{n'}} \end{align}$ .
04.08.2017, 16:10	Noob2	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke euch für die schnellen antworten

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