Coordinate process / Kanonischer Markov-Prozess

04.08.2017, 16:09	Dukkha	Auf diesen Beitrag antworten »
Coordinate process / Kanonischer Markov-Prozess Hallo zusammen, In meinem Skript werden Markov-Prozesse auf dem Raum aller Funktionen betrachtet und der "coordinate process" eingeführt. Ich verstehe aber nicht so recht, was der Sinn dahinter ist. Definition: Sei $\begin{eqnarray} (S,\mathcal{S}) \end{eqnarray}$ ein beliebiger Maßraum und $\begin{eqnarray} S^{[0,\infty)} \end{eqnarray}$ der Raum aller Funktionen $\begin{eqnarray} y: [0,\infty)\to S,t\mapsto y(t) \end{eqnarray}$ . Wir führen den "coordinate process" $\begin{eqnarray} Y = (Y_t)_{t\geq 0} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} S^{[0,\infty)} \end{eqnarray}$ ein, in dem wir $\begin{eqnarray} Y_{t}(y):=y(t) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} y\in S^{[0,\infty)} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t\geq 0 \end{eqnarray}$ setzen." Was ist der Sinn dahinter? Hat das irgendwas mit den Trajektorien von RCLL Prozessen zutun? Weshalb betrachtet man diesen coordinate process? Es folgen noch zwei Propositionen. ( $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ ist der coordinate process und $\begin{eqnarray} \mathbb{P}_v \end{eqnarray}$ seine Verteilung auf $\begin{eqnarray} S^{[0,\infty)} \end{eqnarray}$ ) Proposition 1: Ein Prozess $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist ein Markov-Prozess mit transition semigroups $\begin{eqnarray} (K_t) \end{eqnarray}$ und Startverteilung $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ dann und nur dann wenn die FDMD (Edit: finite-dimensional marginal distribution) von $\begin{eqnarray} \mathbb{P}_v = P\circ X^{-1} \end{eqnarray}$ für Koordinaten $\begin{eqnarray} t_0,t_1,\dots,t_n \end{eqnarray}$ gegeben ist als $\begin{eqnarray} P \circ (X_{t_0},X_{t_1},\dots,X_{t_n})^{-1} = \mathbb{P}_v \circ (Y_{t_0},Y_{t_1},\dots,Y_{t_n})^{-1}=\mu \otimes K_{t_1}\otimes K_{t_2-t_1}\otimes \cdots \otimes K_{t_n-t_{n-1}} \end{eqnarray}$ Proposition 2: Ich schreibe nicht die ganze Proposition hin, wenn es aber gewünscht wird, editiere ich den Beitrag. Die Proposition geht darum einen "kanonischen Markov-Prozess" mit Hilfe des coordinate process auf $\begin{eqnarray} S^{[0,\infty)} \end{eqnarray}$ aufzubauen. Ich verstehe aber auch hier nicht wirklich was mit kanonischer Markov-Prozess gemeint ist und ob dieser Prozess sich auch auf $\begin{eqnarray} S^{[0,\infty)} \end{eqnarray}$ befindet, oder in einem generellen polnischen Raum. Neuer Edit: So wie ich das nun verstehe, spricht man von einem kanonischen Markov/Feller/Levy-Prozess, wenn der Prozess sich auf $\begin{eqnarray} S^{[0,\infty)} \end{eqnarray}$ befindet und von einem abstrakten Prozess, wenn er sich auf einem nicht weiter definierten polnischen Raum befindet. Warum man aber kanonische Prozesse betrachtet, verstehe ich trotzdem nicht.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »