Anfangswertproblem

04.08.2017, 19:31

Dnino

Anfangswertproblem

Meine Frage:
Ohai.
Ich lerne ganz frisch den Bereich mit den Anfangswerteproblemen und habe Fragen.
Ich soll die Lösung y(t) bestimmen.
1) y´y + t = 0 | y(0) = 1
Das hab ich glaub ich geschafft und ist richtig.

2) ay´ + y = 1 für a ungleich 0 | y(0) = 4
Hier hab ich aber direkt zu Beginn Probleme. Ich weiß nicht so recht wie ich es umstellen kann damit da y*dy steht.

Meine Ideen:
1)
y´y + t = 0 => y´ = - t/y
dy/dt = - t/y => y*dy = -t*dt
c + y^2 * 1/2 = k -t^2 * 1/2
$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{-t^2 + p} \end{eqnarray*}$
y(0) = 1 wenn p = 1

2)
ay´ + y = 1
$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1-y}{a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dt} = \frac{1-y}{a} \end{eqnarray*}$

04.08.2017, 20:34

Helferlein

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Was hindert Dich daran, die y-Terme auf eine Seite zu bringen und die t-Terme auf die andere?
Das ist doch bei diesem Verfahren immer das Ziel.

05.08.2017, 10:05

ML_

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RE: Anfangswertproblem
Hallo,

Zitat:

2) ay´ + y = 1 für a ungleich 0 | y(0) = 4
Hier hab ich aber direkt zu Beginn Probleme. Ich weiß nicht so recht wie ich es umstellen kann damit da y*dy steht.

Es liegt keine DGL mit Trennung der Veränderlichen vor. Daher ist das gar nicht Dein Ziel.
Vielmehr handelt es sich um eine inhomogene lineare DGL mit konstanten Koeffizienten. Die löst Du anders.
www.tm-mathe.de/Themen/html/gewdgllinkon.html

Viele Grüße
Michael

05.08.2017, 10:22

Huggy

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RE: Anfangswertproblem

Zitat:

Original von ML_
Es liegt keine DGL mit Trennung der Veränderlichen vor.

Aber klar doch! Man kann die DGL doch umschreiben in

$\begin{eqnarray*} a\frac {y'}{1-y}=1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Vielmehr handelt es sich um eine inhomogene lineare DGL mit konstanten Koeffizienten.

Auch das. Damit hat man einen alternativen Lösungsweg. Der erste Weg ist hier aber einfacher.

05.08.2017, 10:38

ML_

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RE: Anfangswertproblem
Da hast Du recht. Ich bin anscheinend ein wenig blind.

05.08.2017, 16:37

Dnino

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Wenn ich versuche die y terme auf eine Seite zu bringen und die t terme auf die andere komme ich bis hierhin:

$\begin{eqnarray*} dy + \frac{y*dt}{a} = \frac{dt}{a} \end{eqnarray*}$

Wie soll es von hier aus weitergehen?

$\begin{eqnarray*} y + \frac{y*t}{a} = \frac{t}{a} \end{eqnarray*}$

Irgendwie so? Aber ich stecke irgendwie in der Klemme. Ich weiß immernoch nicht so genau wie ich y auf eine Seite bringe. Hier würde es dann aussehen:

$\begin{eqnarray*} y = \frac{t}{a} - \frac{yt}{a} \end{eqnarray*}$

05.08.2017, 17:14

Huggy

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Was treibst du da? Ist dir nicht klar, wie man dazu kommt:

Zitat:

Man kann die DGL doch umschreiben in

$\begin{eqnarray*} a\frac {y'}{1-y}=1 \end{eqnarray*}$

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