Ampelaufgabe mit Grün- und Rotphase

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Systema Auf diesen Beitrag antworten »
Ampelaufgabe mit Grün- und Rotphase
Hallo,

ich komme bei dieser Frage einfach nicht mehr weiter. Ich stehe komplett auf dem Schlauch.

Frage

Eine Person kommt zufällig an eine AMpel. Es geht um die Wahrscheinlichkeit, dass die Person warten muss. Die Ampel hat keine Gelbphase sondern nur Grün oder Rot. Die Grünphase dauert 30 Sekunden die Rotphase 60 Sekunden.

a.) Geben sie die Verteilungsfunktion Fx(x) und die Dichtefunktion
fx(x) an.
b.) Zeichnen sie die Funktionen (Verteilungs und Dichtefunktion) in den
Graphen ein. Wie zu vermuten waren hier zwei Koordinatensysteme gezeichnet
in die man die Funktionen bzw. den Verlauf grob skizzieren sollte
c.) Eine Person läuft 200 mal auf die Arbeit und zurück. Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit dass die Person nicht länger als 2h an der Ampel wartet
d.) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeitdass die gleich Person länger als 2,5 h vor der Ampel warten muss?

Mein Ansatz
Für a): F(X) = 0 für x <= a, (g+r)-x für x>= a


Könnt ihr mir bitte (mit Erklärungen) bei dieser Aufgabe helfen? Vielen Dank!
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ampelaufgabe mit Grün- und Rotphase
Gehen wir mal systematisch vor.

Eine Ampelphase dauert insgesamt 90 Sekunden. Es sei die Zufallsgröße für die Wartezeit und ihre Verteilungsfunktion sei . Die Anfangszeit einer Phase kann willkürlich festgelegt werden. Es bietet sich an, diese auf den Zeitpunkt zu legen. Die Grünphase sei nun die Zeit und die Rotphase sei die Zeit . Das könnte man natürlich auch umgekehrt machen.

Die Wartezeit ist immer dann 0, wenn die Ankunftszeit innerhalb der Grünphase liegt. Was ergibt sich dadurch für



Negative Wartezeiten gibt es nicht. Es ist also

für

Alle Wartezeiten sind kleiner 60 Sekunden. Es ist daher

für

Bleibt noch

für

zu bestimmen. Bei welcher Ankunftszeit ist die Wartezeit , wenn in diesem Bereich liegt? Auf jeden Fall dann, wenn die Ankunftszeit in der Grünphase liegt. Und zusätzlich bei einer Ankunftszeit, deren Abstand vom Ende der Rotphase ist. Das führt also zu?
Systema Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ampelaufgabe mit Grün- und Rotphase

t <= 30?

Und den letzten Absatz kann ich nicht beantworten :/
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ampelaufgabe mit Grün- und Rotphase
Das ist keine Antwort. Du sollst die Zahl angeben, die an der Stelle des Fragezeichens stehen soll.
Und diese Zahl ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Ankunftszeit innerhalb der Grünphase liegt. Wie groß ist diese Wahrscheinlichkeit? Dabei soll angenommen werden, dass die Ankunftszeiten innerhalb der 90 Sekunden gleichverteilt sind, auch wenn das nicht explizit im Text der Aufgabe steht.
Systema Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ampelaufgabe mit Grün- und Rotphase
Wenn die Phasezeit insgesamt 90 Sek. dauert und die Grünphase 30. Dann sind ist F(0) = 0,30? Falls dies auch nicht stimmt, weiß ich echt nicht mehr weiter -.-
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ampelaufgabe mit Grün- und Rotphase
Das ist fast richtig. Es ist

 
 
Systema Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ampelaufgabe mit Grün- und Rotphase
Icn nehme an, dass somit die Verteilungsfunktion geklärt ist. Was ist aber nun mit den weiteren Aufgabenteilen? zB die Dichtefunktion? Vor allem c, und d?

Ich möchte nicht fordernd wirken, doch diese Aufgabe macht mich wirklich verrückt.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ampelaufgabe mit Grün- und Rotphase
Zitat:
Original von Systema
Icn nehme an, dass somit die Verteilungsfunktion geklärt ist.

Wie kommst du denn darauf? Jetzt ist nur bekannt (und und , siehe bei mir oben). Zu bestimmen ist noch für . Wie man das bestimmt steht am Ende meines ersten Beitrags.

Zitat:
Was ist aber nun mit den weiteren Aufgabenteilen? zB die Dichtefunktion? Vor allem c, und d?

Das stellen wir zurück, bis die Verteilungsfunktion geklärt ist.

Zitat:
Ich möchte nicht fordernd wirken, doch diese Aufgabe macht mich wirklich verrückt.

Dann solltest du mehr Initiative zeigen und mehr nachdenken. Deine Beiträge zu waren mehr als bescheiden.
Systema Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ampelaufgabe mit Grün- und Rotphase
Also für F(X):

0 für 0 < x < 0.30
1-X für 0.3 < x < 1

Denn wenn ich innerhalb der Grünphase ankomme, warte ich nicht, und falls innerhalb der Rotphase, dann warte ich maximal 60 Sekunden.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ampelaufgabe mit Grün- und Rotphase
Tut mir Leid, aber das ist völliger Schwachsinn. Anscheinend verwechselst du die Werte, die eine Zufallsgröße anehmen kann, mit den Wahrscheinlichkeiten bzw. Wahrscheinlichkeitsdichten, die für einen bestimmten Wert der Zufallsgröße gelten. Also noch mal:

sei die Zufallsgröße für die Wartezeit. seien die Werte, die annehmen kann. Diese liegen in dem Bereich , da die Rotphase 60 Sekunden beträgt.

Die Verteilungsfunktion von ist definiert als



Die Verteilungsfunktion kann Werte zwischen annehmen, weil Wahrscheinlichkeiten axiomatisch so definiert sind, dass sie in diesem Bereich liegen. Ich habe den Eindruck, du hast noch immer nicht erstanden, weshalb gilt



Wenn du das nicht verstanden hast, kannst du natürlich auch zu

für

nichts Sinnvolles sagen. Ich würde dir ja gern weiterhelfen. Aber mein bisheriges Eindruck ist, dass das nicht geht, weil dir anscheinend jegliches Grundverständnis fehlt. Trotzdem werde ich versuchen, dir weiterzuhelfen, falls du mal etwas halbwegs Sinnvolles zu der Frage

für

von dir gibst.
Systema Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ampelaufgabe mit Grün- und Rotphase
= 0,66
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es sieht irgendwie nicht so aus, als hättest du mal ernsthaft über dieses und dessen inhaltliche Bedeutung nachgedacht. unglücklich

ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Wartezeit an der Ampel maximal Sekunden ist: Das umfasst sowohl den Fall, dass man in der Grünphase eintrifft (30 Sekunden) als auch den Fall, dass man in den letzten Sekunden der Rotphase eintrifft. Zusammengenommen sind also Sekunden des insgesamt 90 Sekunden umfassenden Ampelintervalls günstig für dieses Ereignis ...
Mathi12345 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ich sitze lustigerweise (oder auch nicht Augenzwinkern ) vor einer recht ähnlichen Aufgabe und komme auch nicht weiter, was die Bestimmung der Verteilungsfunktion und Verteilungsdichtefunktion angeht.
Ich bin auch noch etwas verwirrt was den genauen Unterschied einer Verteilungsfunktion und der Dichtefunktion in Sachen Aufstellung angeht. Ist der einzige Unterschied der, dass bei der Verteilungsfunktion Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Werte und bei der Dichtefunktion Wahrscheinlichkeiten für Wertbereiche angegeben werden ? Wobei das doch eher der Unterschied zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen ist. Hier würde ich gerne nochmal um Aufklärung bitten smile

Der Übersichthalber möchte hier nochmal kurz alle meiner bisher gesammelten Erkenntnisse auflisten.

Die Ampelphase beträgt insgesamt 90sek.
Anfangszeit der Phase t=0
Grünphase ist die Zeit von 0<=t<=30
Rotphase ist die Zeit von 30<t<90

Die Wahrscheinlichkeit während der Grünphase anzukommen beträgt:


Die Wahrscheinlichkeit während der Rotphase anzukommen beträgt demnach:



Zunächst würde ich erstmal die Zufallsvariable X für die Wartezeit folgendermaßen aufstellen:
Die Zufallsvariable weißt einen Wert X einen anderen Wert x zu richtig?

X = 0 für 0<=x<=30 //Wenn Grünphase kein Warten
1-x für 30<x<90 //Man muss die Restliche Zeit (Beginn Rotphase - Ankunftszeit in Phase)
warten

So und jetzt ist die große Frage die ich mir stelle ist das folgende nun die Dichtefunktion oder Verteilungsfunktion:

0,33 für 0<=x<=30
0,67 für 30<x<90
0 sonst


Da es hier um Bereichsangaben geht, also stetige Zufallsvariable müsste es sich hierbei doch um die Dichtefunktion handeln oder ? Und um die Verteilungsfunktion zu erhalten müsste man diese dann integrieren. Oder bin ich hier komplett auf dem Holzweg..

Ich schätze eure Mühe und bitte um etwas Geduld, ich bin eher ein Fan vom Verstehen als vorgesagt zu bekommen und werde deswegen wohl die ein oder andere "dumme" Frage stellen bzw. bereits gestellt. Tanzen
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Oh weh! Das sieht nicht gut aus.

Konzentrieren wir uns erst mal auf die Verteilungsfunktion. Da muss man noch nicht zwischen diskreten und stetigen oder gemischt diskret/stetigen Zufallsgrößen unterscheiden. Die Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße sei mit bezeichnet. Sie ist definiert als die Wahrscheinlichkeit, mit der die Zufallsgröße einen Wert annimmt, also in Formelschreibweise



Dabei steht P für Probability = Wahrscheinlichkeit.

Ist dir mit dieser Definition klar, was bisher über bei dieser Aufgabe gesagt wurde. Ist dir insbesondere klar, weshalb mit dieser Defintion gilt? Falls ja, widmen wir uns der Frage, was gilt gemäß dieser Definition für , wenn in dem Bereich liegt? Damit die Wartezeit ist, muss die Ankunftszeit in der Grünphase liegen oder in der Zeitspanne . Was gilt also für

bei
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst die Zufallsvariable als messbare Funktion ansehen, aber du brauchst die formelle Definition gar nicht in diesem Beispiel;

Deswegen stelle dir vor ist eine Zufallsvariable, die die Wartezeit beschreibt; Dann ist die Verteilungsfunktion:

- hier ist also das große X die Zufallsvariable, das kleine x ist der Funktionswert; Das heißt wir suchen nach der Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable kleiner als x ist;

Wenn dich das verwirrt kannst du die Zufallsvarialbe auch benennen und dann die Verteilungsfunktion so schreiben:



Nun zum Verständnis: Sei eine negative Zahl, z.B. -0.1; Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Wartezeit kleiner gleich -0.1 ist? Natürlich 0, weil es keine negative Wartezeiten gibt;
Also gilt für ;

Auch ist klar, dass es keine größeren Wartezeiten gibt als 60 Sekunden und damit:

für ;

Außerdem wurde richtig gesagt, dass die Chance 1/3 ist, dass die Ampfel grün ist, also gilt


Man beachte, dass es darum geht und nicht um , das heißt, dass es nur stimmt, weil es keine negativen Wartezeiten gibt und damit die kummulierte Wahrscheinlichkeit immer noch bei 1/3 liegt;

Soweit ist alles Wiederholung; Nun wird idealerweise davon ausgegangen, dass es gleich wahrscheinlich ist, wann man genau kommt, d.h. es ist gleich wahrscheinlich in der ersten Sekunde, in der 34. in der 56. oder der 89. Sekunde zu kommen;

Deswegen ist die Wartezeit logischerweise auch gleichverteilt, d.h. gleiche Wahrscheinlichkeit für jede positive Wartezeit im Intervall ;
Deswegen ist die Verteilungsfunktion linear steigend;

d.h. wir ziehen nur eine Gerade durch die zwei Punkte P(0,1/3) und P(60,1); Damit ist die Verteilungsfunktion gegeben durch



Hast du das verstanden?

Nun ist es vor allem wichtig, dass du verstehst, dass du hier eine Mischung aus stetiger und diskreter Zufallsvariable ist;

Stell dir jetzt vor du hast zwei andere Zufallsvariablen und ;

sei die triviale Zufallsvariable; Der Wert ist einfach gegeben durch 0, d.h. sie ist zu 100% 0
sei gleichverteilt auf das Intervall [0,60];

Dann ist unsere Zufallsvariable von oben gegeben durch: ;

Diskret heißt, dass es abzählbar viele Werte gibt; Damit kann man die Verteilung der Zufallsvariablen auch dadurch beschreiben indem man explizit angibt für x als die Werte, die die Zufallsvariable annimmt;

Stetig heißt, dass die Menge überabzählbar ist - d.h. sie ist auf einem bestimmten Intervall verteilt, wie in diesem beispiel auf [0,60];

Daher ist die Wahrscheinlichkeit für einne stetige Zufallsvariable für alle X;

Das kannst du dir so vorstellen: Stell dir vor du willst dir auf dem Intervall [0,1] eine beliebige Zahl auswählen;

Dann würde es überabzählbar unendlich viele geben, weil es unendlich viele Nachkommastellen gibt; Daher muss für jede Zahl selbst die Wahrscheinlichkeit 0 gelten;

Dies ist bei dir für die Wartezeit gegeben; Ist das jetzt ein bisschen klarer? smile

-----------------


Kann auch jemand versuchen meine Aufgabe zu lösen? :-) Wäre echt suuper smile
Mathi12345 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh weh! Das sieht nicht gut aus.
Ups traurig

Ist dir mit dieser Definition klar, was bisher über bei dieser Aufgabe gesagt wurde
=> Ja, man möchte ermitteln, wie Wahrscheinlich es ist, dass X einen bestimmten Wert x annimmt.

Ist dir insbesondere klar, weshalb mit dieser Defintion gilt?
=> Ja die Wahrscheinlichkeit, dass x (also die Wartezeit) 0 ist, is 1/3, da die Grünphase 1/3 der Zeit ausmacht.


Falls ja, widmen wir uns der Frage, was gilt gemäß dieser Definition für , wenn in dem Bereich liegt? Damit die Wartezeit ist, muss die Ankunftszeit in der Grünphase liegen oder in der Zeitspanne . Was gilt also für

bei


=> Mit bei [/I] soll ermittelt werden, wie wahrscheinlich es ist, dass man eine Wartezeit hat, also dass X als Wartezeit den Wert von mind 1 sek und max 59 sek (auf ganze Zahlen gerundet) erhält, richtig?

Da wir bereits wissen, das man mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 keine Wartezeit hat, wäre die Wahrscheinlichkeit eine Wartezeit zu haben dann doch 1-1/3 = 2/3 oder einfach
60/90 = 2/3.

Stimmt das soweit ?
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

NEIN!!! Es geht darum, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Wartezeit kleiner gleich x ist, wie in meinem letzten Beitrag geschrieben...

Das sieht echt nicht gut aus... verwirrt
Mathi12345 Auf diesen Beitrag antworten »

Auch ist klar, dass es keine größeren Wartezeiten gibt als 60 Sekunden und damit:

für ;


=>Es kommt mir bekannt vor, dass man die Aussage so trifft, allerdings habe ich das nie richtig verstanden, wenn es doch keinen Wert größer als 60 gibt, warum schreibt man dann und nicht x=60 ?


Deswegen ist die Wartezeit logischerweise auch gleichverteilt, d.h. gleiche Wahrscheinlichkeit für jede positive Wartezeit im Intervall ;
Deswegen ist die Verteilungsfunktion linear steigend;


=> Ich verstehe nicht wieso die Wartezeit linear steigend ist ?
Je später ich komme, desto weniger Wartezeit habe ich doch (wenn man außerhalb der Grünphase auftaucht).




Hast du das verstanden?


=> Den mittleren Teil der Funktion habe ich nicht wirklich verstanden, wie kommt der denn zustande?
Und sollte der erste Teil nicht 0 für x<= 0 sein ?

Dies ist bei dir für die Wartezeit gegeben; Ist das jetzt ein bisschen klarer? smile

Das war mir nie unklar smile das merkwürdige ist, dass ich das Theoriezeugs verstehe, es aber komischerweise nicht umgesetzt bekomme... Trotzdem Danke für deine Erläuterung, je öfter mans hört desto sicherer ist man sich es verstanden zu haben smile
Mathi12345 Auf diesen Beitrag antworten »

NEIN!!! Es geht darum, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Wartezeit kleiner gleich x ist, wie in meinem letzten Beitrag geschrieben...

Das sieht echt nicht gut aus... verwirrt


Oh neein geschockt traurig sorry.

Ok, aber ich habs jetzt denke ich Verstanden, also gibt man mit:

bei

an wie Wahrscheinlich es ist, dass X <= x ist für alle x, die 0<x<60, richtig ?

Würde ich mir jetzt so erklären, dass wie bereits erwähnt wurde:


[l]F_W(x)=\mathbb P(W\leq x) bedeutet.
Aber meine ermittelte Wahrscheinlichkeit von 2/3 war korrekt oder habe ich dort auch einen Fehler gemacht?
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Mach dir mal Gedanken, was eine Verteilungsfunktion ist - wie die Eigenschaften sind etc.;
Du verwechselst hier leider so einige Dinge...

Eine Verteilungsfunktion hat die Eigenschaften:

und und sie ist monoton steigend, d.h. für jede positive Zahl t;

Es gibt noch eine andere Eigenschaft, aber das ist jetzt nicht so wichtig;

Überlegen wir mal, warum das so gilt:

ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable kleiner gleich ist: Die Wahrscheinlichkeit dafür ist logischerweise 0;

ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable kleiner gleich ist: Die Wahrscheinlichkeit dafür ist logischerweise 1;

Die dritte Aussage ist auch logisch; Die Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner gleich x ist muss kleiner oder gleich sein, als die Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner gleich x+t ist;

Das ist gleichbedeutend damit, dass die Wahrscheinlichkeit, dass X im Invervall (x,x+t] liegt nicht negativ ist; Das ist selbstverständlich richtig, da es auch keine negativen Wahrscheinlichkeiten gibt
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathi12345
Mit bei [/I] soll ermittelt werden, wie wahrscheinlich es ist, dass man eine Wartezeit hat, also dass X als Wartezeit den Wert von mind 1 sek und max 59 sek (auf ganze Zahlen gerundet) erhält, richtig?

Nein!

Nochmals: ist die Wahrscheinlichkeit, das die Wartezeit ist. ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Wartezeit (Sekunden) ist. Dazu muss die Ankunftszeit in der Grünphase liegen oder in der Zeit während der Rotphase. Deshalb ist



Jetzt mach das mal mit variablem .
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich zieh mich mal zurück, sorry Huggy, dass ich mich eingemischt habe;

Viel Spaß euch noch :-)
Mathi12345 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich zieh mich mal zurück, sorry Huggy, dass ich mich eingemischt habe;

Viel Spaß euch noch :-)


Ich danke dir trotzdem für deinen wertvollen Beitrag smile auch wenn man es nicht so wirklich merkt er hat mir etwas weiter geholfen Freude




Nochmals: ist die Wahrscheinlichkeit, das die Wartezeit ist. ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die Wartezeit (Sekunden) ist. Dazu muss die Ankunftszeit in der Grünphase liegen oder in der Zeit während der Rotphase. Deshalb ist






=> Das es die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass die Wartezeit <= x habe ich denke nun endlich verstanden smile

Jetzt mach das mal mit variablem .

Ich lass meine Überlegungen mal mit einfliessen:

Um die WK zu berechnen, dass die Wartezeit <= x ist muss ich ja auch die WK bedenken, die besteht, wenn man während der Grünphase ankommt, da 0 ja durchaus auch <= x ist (sein kann).

die Wahrscheinlichkeit in der Grünphase zu landen beträgt 30/90 = 1/3.

Die WK in der Rotphase zu landen beträgt demnach 2/3.

Um den Faktor zu ermitteln, der mit x multipliziert wird (um den x sich erhöht / erniedrigt) teile ich die WK für die Rotphase durch die Gesamtzeit der Rotphase.
Addiere das ganze mit der WK der Grünphase und habe die WK für das variable x.

somit ergibt sich (nach meinen Berechnungen):


* x

Ich hoffe die Rechnung ist korrekt und auch richtig erklärt und das du nicht zu sehr an mir verzweifelst Gott
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathi12345
somit ergibt sich (nach meinen Berechnungen):

* x

Ich hoffe die Rechnung ist korrekt und auch richtig erklärt und das du nicht zu sehr an mir verzweifelst Gott

Das ist richtig.

Als Begründung einfacher erscheint mir die die Überlegung



Dabei ist die Zeitspanne, die die Bedingung erfüllt und die gesamte Zeitspanne.

Das stimmt mit deinem Ergebnis überein, wovon du dich überzeugen solltest.

Was ergibt sich daraus für die Dichtefunktion?
Was ist bei für die Dichtefunktion anzumerken?
Mathi12345 Auf diesen Beitrag antworten »




Dabei ist die Zeitspanne, die die Bedingung erfüllt und die gesamte Zeitspanne.


Ja macht Sinn ! Einfache Laplace Wahrscheinlichkeitsrechnung Günstig/Möglich Hammer


Was ergibt sich daraus für die Dichtefunktion?
Da bin ich jetzt leider etwas überfragt, so wie ich den Theorieteil bisher gelernt habe ergibt sich die Verteilungsfunktion durch Integration der Dichtefunktion, richtig?
Wenn du mir erklären könntest, wie ich hieraus nun die Dichtefunktion erstellen kann, eventuell aufleiten?

Was ist bei für die Dichtefunktion anzumerken?
Die Wahrscheinlichkeit das x einen bestimmten Wert annimmt P(X=x) ist bei der Dichtefunktion ja immer 0. Wenn du das meinst?
Systema Auf diesen Beitrag antworten »

Die Dichtefunktion sollte sein:

f(x):
- 1/3 für 0
- 1/90 für 0 < x < 60
- 0 sonst
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathi12345
Was ergibt sich daraus für die Dichtefunktion?
Da bin ich jetzt leider etwas überfragt, so wie ich den Theorieteil bisher gelernt habe ergibt sich die Verteilungsfunktion durch Integration der Dichtefunktion, richtig?

Das ist richtig für eine stetige Zufallsgröße, d. h. eine Zufallsgröße, deren Verteilungsfunktion eine stetige Funktion ist. Dann kann man die Dichtefunktion definieren als diejenige Funktion, deren Integral die Verteilungsfunktion ist. Genauer, wenn es eine Funktion gibt, für die gilt,



dann bezeichnet man als die Dichtefunktion von . Wenn nun die Verteilungsfunktion differenzierbar ist, dann gilt



Wenn die Verteilungsfunktion an einzelnen Stellen zwar stetig, aber nicht mehr differenzierbar ist, kann man noch immer mit dieser Definition arbeiten, weil das Integral einer Funktion nicht von einzelnen Werten abhängt. Aber wenn die Verteilungsfunktion nicht stetig ist, funktioniert das nicht, weil das Integral einer Funktion immer eine stetige Funktion ergibt.

Die Verteilungsfunktion der Wartezeit ist überall stetig, außer bei . Da macht sie einen Sprung von 0 auf 1/3. Man kann also für die Wartezeit überall eine Dichtefunktion angeben außer für . Die Wartezeit ist eine gemischt diskrete/stetige Zufallsgröße.

Physiker würden das Problem beheben, indem sie eine Dichtefunktion als Summe einer normalen Dichtefunktion und einer -Distribution konstruieren. Die mathematischen Stochastiker würden wohl eher mit dem Dirac-Maß hantieren.

Anwender - und dazu zähle ich mal die Informatiker - kombinieren einfach nach GMV (Gesunder Menschenverstand) für die weitere Rechnung die Formeln für diskrete und für stetige Zufallsgrößen.

Nach diesem endlosen Blabla, was ist die Dichtefunktion der Wartezeit für ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Nach diesem endlosen Blabla

Das "Blabla" ist richtig und wichtig! Streng genommen müsste man bei einer Fragestellung wie

Zitat:
Original von Systema
a.) Geben sie die Verteilungsfunktion Fx(x) und die Dichtefunktion fx(x) an.

nachfragen:

Dichtefunktion bezüglich welchen Maßes?

Und die Antwort lautet dann:

1) Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes: Gibt es nicht, da unstetig.

2) Dichte bezüglich irgendeines diskreten Maßes (z.B. des Zählmaßes auf ): Gibt es nicht, weil es keine abzählbare Menge mit gibt.

D.h., die Fragestellung ist schon vergurkt. Man muss also schon ein "kombiniertes" Maß konstruieren, bezüglich dessen eine Dichte überhaupt existiert! Z.B. wäre da geeignet, d.h., die Summe aus Lebesgue-Maß und Dirac-Maß im Punkt 0, für dieses Vergleichsmaß wäre dann sogar die Antwort

Zitat:
Original von Systema
Die Dichtefunktion sollte sein:

f(x):
- 1/3 für 0
- 1/90 für 0 < x < 60
- 0 sonst

richtig. smile
Systema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

richtig. smile


Endlich!

Können wir uns dann auf die Kernaufgaben weiter machen?

c.) Eine Person läuft 200 mal auf die Arbeit und zurück. Wie hoch ist dieWahrscheinlichkeit dass die Person nicht länger als 2h an der Ampel wartetd.) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeitdass die gleich Person länger als 2,5 h vor der Ampel warten muss?

Mit Ach und Krach kam ich auf F(X) und f(x). Hier weiß ich nicht mehr weiter.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Systema
Zitat:

richtig. smile


Endlich!

Langsam. Richtig ist nur

für und 0 sonst.

Diese Klimmzüge mit kombiniertem Maß sind kaum im Sinne des Aufgabenstellers. Zusätzlich zu dieser Dichtefunktion besitzt die Zufallsgröße noch für den diskreten Wert eine Wahrscheinlichkeit . Es ist natürlich nur eine Vermutung von mir, dass diese Darstellung der Intention des Aufgabenstellers entspricht.

Zitat:
Können wir uns dann auf die Kernaufgaben weiter machen?


Den Erwartungswert einer solchen gemischt diskret/stetigen Zufallsgrößen bestimmt man durch Kombination der Formeln für diskrete und stetige Zufallsgrößen:



Die Summe besteht in unserem Fall nur aus einem Summanden und das Integral kann man auf das Intervall beschränken. Der erste Schritt ist dieses zu berechnen. Dann berechnet man die Varianz unter Benutzung von



Hat man beides, ergeben sich daraus Erwartungswert und Varianz für die Summengröße von 200 Wartezeiten. Dann wendet man den zentralen Grenzwertsatz an.
Mathi12345 Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe da noch eine kurze Zwischenfrage.

Wie genau sieht jetzt die Notation der Verteilungsfunktion aus ?
Ich würde sie folgendermaßen aufschreiben:




und die Dichtefunktion folgendermaßen:



So, ist der einzige Unterschied zwischen den beiden nun, dass die Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeit dafür abbildet, dass X<=x und die Dichtefunktion die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen x Werte (also wie diese sich verteilen) ?

Wenn ich die Dichtefunktion jetzt ableite, so müsste ich ja auf die Verteilungsfunktion kommen, die ich angegeben habe (sofern ich sie richtig angegeben habe) richtig?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der Verteilungsfunktion bin ich einverstanden, mit der Dichtefunktion nicht so ganz. Der Knackpunkt ist . Den Wert hast du hingeschrieben, weil . Aber den Zusammenhang gibt es so nicht. Im Prinzip kann man bei etwas Beliebiges hinschreiben, weil nur Integrale über die Dichte von Bedeutung sind und das Integral über eine Funktion sich nicht ändert, wenn man ihren Wert an einzelnen Punkten willkürlich ändert. In dem Sinne kannst du da auch hinschreiben.

Aber wenn man diese Dichtefunktion nicht durch eine Wahrscheinlichkeit für den diskreten Punkt ergänzt, wird das Ganze falsch. Tückischer Weise aber nicht für und , weil der diskrete Punkt gerade bei Null liegt. Läge er an einer anderen Stelle, wären ohne die Ergänzung auch und falsch.

Zitat:
Original von Mathi12345
So, ist der einzige Unterschied zwischen den beiden nun, dass die Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeit dafür abbildet, dass X<=x und die Dichtefunktion die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen x Werte (also wie diese sich verteilen) ?

Das ist für die Dichtefunktion völlig falsch. Es gilt gerade nicht



bei einer stetigen Zufallsgröße. Und mit Ausnahme von ist ja stetig. Für eine rein stetige Zufallsgröße ist ja für alle x. Aber Anfänger unterliegen immer wieder dieser Fehlinterpretation. Dabei sagt einem doch schon der gesunde Menscheverstand, dass für eine rein stetige Zufallsgröße überall gelten muss . Eine Wahrscheinlichkeit größer 0 gibt es da nur für Intervalle mit nicht verschwindender Länge. Andererseits kann eine Dichtefunktion durchaus Werte größer 1 annehmen, aber Wahrscheinlichkeiten größer 1 gibt es nicht.

Zitat:
Wenn ich die Dichtefunktion jetzt ableite, so müsste ich ja auf die Verteilungsfunktion kommen, die ich angegeben habe (sofern ich sie richtig angegeben habe) richtig?

Genau umgekehrt! Oh Gott, was lernt ihr denn nur???

Für das weitere Vorgehen verweise ich auf meinen vorigen Beitrag.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Diese Klimmzüge mit kombiniertem Maß sind kaum im Sinne des Aufgabenstellers.

Was die "Sinne des Aufgabenstellers" betrifft, möchte ich nur anmerken, dass diese ihn verlassen haben, als er überhaupt nach einer Dichte gerufen hat. Glücklicherweise ist der Rest der Aufgabe bearbeitbar, ohne dass die Nichtexistenz dieser Dichte (bzgl. des Lebesguemaßes) das verhindern würde.

Du versuchst das nun irgendwie zu retten, indem du unter Verzicht auf Maßtheoriekenntnisse beim Kunden mit inhaltlich richtigen "Mischformeln" (stetig+diskret) für den Erwartungswert operierst, die allerdings ohne den Maßtheorieunterbau ein wenig vom Himmel fallen... viel Erfolg. Augenzwinkern
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathi12345

...

Wenn ich die Dichtefunktion jetzt ableite, so müsste ich ja auf die Verteilungsfunktion kommen, die ich angegeben habe (sofern ich sie richtig angegeben habe) richtig?


Du meinst das hoffentlich andersherum. verwirrt
Systema Auf diesen Beitrag antworten »

@Huggy @HAL,

interessant dass ihr euch über die hohe Theorie streitet, aber hier sind andere die an einer produktiven Lösung arbeiten smile

Ich selbst kann behaupten dass ich F(x) sowie f(x) schon lange gelöst habe. Ich weiß nicht wie es nun weitergehen soll. Könnt ihr mir dabei bitte helfen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Du versuchst das nun irgendwie zu retten, indem du unter Verzicht auf Maßtheoriekenntnisse beim Kunden mit inhaltlich richtigen "Mischformeln" (stetig+diskret) für den Erwartungswert operierst, die allerdings ohne den Maßtheorieunterbau ein wenig vom Himmel fallen... viel Erfolg. Augenzwinkern

Auch meine maßtheoretischen Kenntnisse sind recht rudimentär. Da es um eine Informatikveranstaltung geht, nehme ich auch an, dass Maßtheorie nicht erwartet wird. Aber so ganz vom Himmel fällt mein Vorgehen trotzdem nicht.

Natürlich wäre es für mich und eventuell auch für die Fragesteller lehrreich zu sehen, wie du die Aufgabe behandeln würdest, wenn man mal die Frage nach der Dichte außen vor lässt.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Systema
Ich selbst kann behaupten dass ich F(x) sowie f(x) schon lange gelöst habe.

Ja, wenn du das meinst, okay!

Zitat:
Ich weiß nicht wie es nun weitergehen soll. Könnt ihr mir dabei bitte helfen?

Dazu habe ich eine konkrete Anleitung gegeben. Hast du sie nicht gelesen.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Natürlich wäre es für mich und eventuell auch für die Fragesteller lehrreich zu sehen, wie du die Aufgabe behandeln würdest, wenn man mal die Frage nach der Dichte außen vor lässt.

Habe ich oben gesagt: Maßtheoretisch korrekt für sowie die diesbezügliche (!) Dichte



wäre die Rechnung

.

Also letzendlich dieselben Formeln wie bei dir, aber mit einem korrekten Dichtebegriff bezüglich eines anderen (von dir abgelehnten) Bezugsmaß .

Zitat:
Original von Systema
Ich selbst kann behaupten dass ich F(x) sowie f(x) schon lange gelöst habe.

Du kannst es behaupten, ja. Und du hast oben auch geschrieben, formal also daselbe wie ich. Du wirst aber gestatten, dass ich leichte Zweifel daran habe, dass du gewusst hast, was du da tust.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL

Ja, das war mir schon klar. Und ich lehne dieses Maß auch nicht ab. Ich wollte es nur nicht benutzen. Was ich meinte war, wie würdest die Aufgabe bei Leuten behandeln, wie diesen Informatikern, die keine maßtheoretische Basis haben.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Was ich meinte war, wie würdest die Aufgabe bei Leuten behandeln, wie diesen Informatikern, die keine maßtheoretische Basis haben.

Das kann ich nicht beantworten solange ich nicht weiß, inwieweit die Informatiker auf solche gemischten Zufallsgrößen vorbereitet wurden. Die Standardformeln für diskrete oder stetige Zufallsgrößen versagen da ja, man muss solche Mischformeln wie bei dir anwenden. Dieser pragmatische Zugang von dir ist ja auch in Ordnung. Ich hab ja hier auch nur im Thread eingehakt, weil du quasi stillschweigend über den Fakt hinweggegangen bist, dass hier im eigentlichen Sinne keine Dichte (bzgl. des Lebesguemaßes) existiert. Der Murks in der Aufgabenstellung ist klar und deutlich zu benennen, das ist meine Meinung.
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