Diffeomorphismus Jacobi-Matrix

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lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
Diffeomorphismus Jacobi-Matrix
Meine Frage:
Hallo Leute,

Ich möchte gerne zeigen, dass Folgendes ein lokaler Diffeomorphismus ist:

F:R>0 x R -> R^3

F(x,y) =( xsin(a)cos(y), xsin(a)sin(y), xcos(a) ) mit a aus R/2piZ.



Meine Ideen:
Na gut, meine Idee war, die Jacobi-Matrix zu berechnen und zu zeigen, dass die Determinante ungleich 0 ist. Dann folgt mit dem Umkehrsatz ja schon die Behauptung. Genauso haben wir es in den Übungen auch oftmals gemacht.

Leider kommt keine quadratische Matrix raus, dh die Determinante lässt sich nicht berechnen?

Soll ich nun einfach zeigen, dass F stetig und bijektiv ist und die Umkehrabbildung auch stetig ist? Wie würde ich dann die Bijektivität zeigen, auf dem "Herkömmlichen Weg"? Gibt es keine leichter Variante oder kann ich bei dem Ansatz mit der Jacobi-Determiannte weiter machen?

Vielen Dank und liebe Grüße,
lissy
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diffeomorphismus Jacobi-Matrix
Kann mir denn wieder niemand helfen unglücklich ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diffeomorphismus Jacobi-Matrix
Also nach der Definition von Wikipedia ist es kein lokaler Diffeomorphismus. Das Bild von offenen Mengen ist nie offen. Das ist notwendig um uerberhaupt von Differenzierbarkeit der Umkehrabbildung sinnvoll sprechen zu koennen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eventuell ist die Aufgabe falsch gestellt, und es geht um die lokalen Diffeomorphismen der Aufgabe 2(ii) dieser Musterlösungen https://www.math.hu-berlin.de/~recke/exe...11/Muster7a.pdf (oder etwas ähnliches)
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank, ich werde mich mal daran orientieren. ich denke, da ist ein Fehler unterlaufen und unser Prof meinte die Aufgabe so smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

So ganz schwer zu erraten war das nicht, denn die Formeln sehen den Kugelkoordinaten etwas ähnlich: https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten
 
 
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich Frage mich Gerade, was wohl ist, wenn man a fest wählt. Dann hat man tatsächlich ein Bild F(x,y) wie oben gegeben im R^3. Wie würde ich dann vorgehen ?

Zeige ich dann, dass es für a nicht fest ein Diffeo ist und folgere so, dass man a fest wählen kann ?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du denn mit der ursprünglichen Funktion machen? Danach entscheidet sich wie man vorgehen kann.
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich möchte jetzt mit meiner ursprünglich angegeben Funktion für a fest zeigen, dass es sich um einen Diffeomorphismus handelt.
Dann klappt das mit der Jacobi-Determinante ja nicht mehr, sondern dann bekommt man ja eine 3x2-Matrix.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Mit der klassischen Definition ist es, ich wiederhole, kein Diffeomorphismus.

Es geht ggf. wenn man das Bild der Abbildung als Mannigfaltigkeit auffasst, mit einer differenzierbaren Struktur versieht. Aber da bin ich alles andere als Experte.
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das weiß ich.

Allerdings hat Elvis in einem Beitrag auf eine Aufgabe verwiesen, die so ähnlich aussieht, wo es mit der Jacobi-Determinante gut klappt.

Da ich nun nicht weiß, ob meine ursprüngliche Aufgabe die unser Prof gestellt hat, falsch gestellt war, habe ich überlegt und anhang anderer Übungen festgestellt, dass es durchaus sein kann, dass die Aufgabenstellung für a fest gegeben war smile

Also sprich: Zeigen Sie, dass für a fest aus R/2piZ F(x,y) = ... (obige Formel) ein lokaler Diffeomorphismus ist.

Da habe ich mich gefragt, ob ich es erst, analog zur Aufgabe von Elvis, für a nicht fest zeigen kann und dann a fest wählen kann, sodass es am Ende auf das selbe rauskommt smile
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Damit kannst du zeigen: Die Funktion ist stetig differenzierbar, sie ist surjektiv (auf ihr Bild) und lokal injektiv. Also "lokal" bijektiv (wobei man genau sein muss, was man hier mit lokal meint.)

Aber Diffeomorphismen wollen mehr. Die verlangen, dass die Umkehrabbildung auch nett ist. Und hier kann man a priori nicht einmal sinnvoll von Stetigkeit sprechen, geschweige denn von Differenzierbarkeit.

Und wenn kein lokaler Diffeomorphismus ist, bringen alle Beweisansaetze nichts.
lissy1234567 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay danke smile
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