Differentialgleichungssystem lösen

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05.08.2017, 18:52	Student1411	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichungssystem lösen Meine Frage: Gegeben ist folgendes homogenes lineares Differentialgleichungssystem: $\begin{eqnarray} y'_1 = +4y_1 + y_3\\<br /> y'_2 = -2y_1 + y_2 \\<br /> y'_3 = -2y_1 + y_3 \end{eqnarray}$ Berechnen Sie die allgemeine Lösung, sowie diejenige spezielle Lösung, die die Anfangsbedingungen $\begin{eqnarray} y_1(0) = 1\\ y_2(0) = 2\\ y_3(0) = -3 \end{eqnarray}$ erfüllt. Meine Ideen: Ich habe die Matrix aufgestellt und die Eigenwerte berechnet. Ich komme auf die Eigenwerte 1, 2 und 3. Ich habe angefangen mit Eigenwert 1 und setze diesen wieder in die Matrix ein. Ich komme dann auf folgende Matrix. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ -2 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ich habe aber so ein Brett vor dem Kopf, dass ich mit der Nullspalte und der sich ergebenden Nullzeile überfordert bin und es nicht schaffe das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} 3y_1+y_3 = 0\\<br /> -2y_1 = 0 \\<br /> -2y_1 = 0 \end{eqnarray}$ zu lösen. Kann mir jemand weiterhelfen?
05.08.2017, 19:49	xb	Auf diesen Beitrag antworten »
y1=0 und y3 ist auch Null y2 ist irgend eine Zahl aus dem Definitionsbereich wobei man sich fragen muss,ob es nicht besser wäre andere Variablen zu nehmen als y1,y2 und y3
05.08.2017, 19:55	Student1411	Auf diesen Beitrag antworten »
Das bedeutet ich würde eine Lösung vom Typ $\begin{eqnarray} t\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bekommen. Laut meiner Dozentin sollte aber hier $\begin{eqnarray} t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ herauskommen. Ich bin verwirrt
05.08.2017, 20:14	xb	Auf diesen Beitrag antworten »
Was kommt denn laut der Dozentin noch raus?
05.08.2017, 21:12	Student1411	Auf diesen Beitrag antworten »
Also Eigenraum für $\begin{eqnarray} \lambda = 1 \end{eqnarray}$ soll das sein was ich gerade geschrieben hatte und Eigenraum für $\begin{eqnarray} \lambda = 2 \end{eqnarray}$ sollte das sein $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Auf dieses Ergebnis würde ich sogar kommen. Jetzt muss ich noch weiter rechnen, um auf die allgemeine Lösung zu kommen aber hier weiß ich auch nicht so recht weiter.
05.08.2017, 21:20	Student1411	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich jetzt noch für $\begin{eqnarray} \lambda = 3 \end{eqnarray}$ den Eigenvektor ausrechne, komme ich auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\-1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Folglich wäre doch dann meine Eigenvektorbasis sofern mein erster Eigenwert doch stimmt $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ Meinen Aufzeichnungen kann ich entnehmen, dass ich auf die allgemeine Lösung komme indem ich jetzt irgendeine Gleichung vom Typ $\begin{eqnarray} e^{\lambda x} \end{eqnarray}$ aufstelle. Diesen Schritt verstehe ich aber nicht und kann das auch nicht umsetzen. EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)
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05.08.2017, 21:22	Student1411	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektorbasis $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1\end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$
06.08.2017, 11:16	xb	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt noch die einzelnen Vektoren addieren $\begin{eqnarray} \vec{y} =C_{1}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} e^{x} \: usw \end{eqnarray}$
06.08.2017, 13:05	Student1411	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe das weiter ausgerechnet und komme dann bei der speziellen Lösung auf das Ergebnis $\begin{eqnarray} c_1 = +5 , c_2 = -2 , c_3 = +1 \end{eqnarray}$ Mein Kommilitone sagt aber, dass das nicht stimmt. Dadurch, dass ich Vektor 2 verändert habe würde sich das c ändern und seiner Meinung nach müsste die spezielle Lösung sein $\begin{eqnarray} c_1 = +5 , c_2 = -4, c_3 = +1 \end{eqnarray}$ Hat er Recht und ich darf mir die Vektoren wirklich nicht "schöner" machen?
06.08.2017, 16:51	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
C1_1, C_2 und C_3 müssen doch so gewählt werden, daß $\begin{eqnarray} C_1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + C_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} + C_3 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} = y(0) \end{eqnarray}$ ist. Da paßt aber weder deine Lösung, noch die von deinem Kommilitonen. Und ab damit in den Hochschulbereich.

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