Trigonometrie

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HannibalBarca Auf diesen Beitrag antworten »
Trigonometrie
Hallo Zusammen,

Muss mich für weiterbildende Schule wieder mit alten Themen auseinandersetzen. Bin nun leider sehr aufgeschmissen, da ich die Formeln usw. nicht mehr habe.

Bestimmen Sie alle x mit , für welche

A)
B)

Mein Versuch

A) Kann man ja nicht vereinfachen. Nun muss ja Sin(x) oder Cos(x) = 0 sein.
Weiter komme ich aber nicht.

B)

Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Huhu,

starten wir doch mal bei a):

Deine Idee ist doch super! Wieso kommst du nun nicht weiter? Du müsstest also die Gleichungen





untersuchen. Da hilft (zur Not) auch der TR weiter. Es empfiehlt sich aber die Graphen der Funktionen im Kopf zu haben. So sieht z. B. der Graph der Sinus-Funktion aus:

[attach]45033[/attach]

Hilft das?
HannibalBarca Auf diesen Beitrag antworten »





Einzige Punkte bei denen Sin 0 und gleichzeitig Cos 1 sind, ist 0° und 360°.
Sehe ich das richtig?
isi1 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber cos=1 ist nicht verlangt, es genügt, wenn entweder sin=0 oder cos=0 ist.
isi1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrie
Zitat:
B)
Musst nicht die Additionsgesetze bemüchen, denn arcsin(tan(40°))=57°=x+10° --> x = 47°
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von isi1
sin=0 oder cos=0


Da steht mathematischer Blödsinn. So viel Zeit muss wohl sein, dass man Sinus und Cosinus ein Argument gibt.

Zitat:
x = 47°


Das ist eine Lösung (auch wenn das Gleichheitszeichen hier nicht stimmt). Man beachte aber die Aufgabenstellung.
 
 
HannibalBarca Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trigonometrie
Zitat:
Original von isi1
Musst nicht die Additionsgesetze bemüchen, denn arcsin(tan(40°))=57°=x+10° --> x = 47°

Wieso rechnest du arcsin(tan(40°))?
Muss man nicht

rechnen?



Zitat:
Original von Mathema

Da steht mathematischer Blödsinn. So viel Zeit muss wohl sein, dass man Sinus und Cosinus ein Argument gibt.


Meine Frage ist aber noch die selbe. Also wie fahre ich nun fort?



Eure Kommentare verwirren mich gerade etwas traurig
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm - vergiss mal deine Gleichungen für einen Augenblick. Anscheinend müssen wir mal ein Schritt zurückgehen. Nehmen wir mal folgende einfache Gleichung:



Kannst du dafür alle angegeben, die in [0°; 360°] liegen und die Gleichung erfüllen?
HannibalBarca Auf diesen Beitrag antworten »

man rechnet

Resultat 30°, oder?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ja - das ist eine Lösung. Gibt es noch mehr?
HannibalBarca Auf diesen Beitrag antworten »

Habe irgend was im Kopf, dass man noch mit +180° rechnen kann. (Schulzeit liegt schon etwas zurück)
Also 30° und 210°?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du einen TR? Dann mache doch mal die Probe:

HannibalBarca Auf diesen Beitrag antworten »

-05

Aber dann mit 180°-30°
Auch ausgerechnet mit TR smile
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es - eine Begründung dafür findest du hier. Jetzt könnten wir natürlich noch beliebig oft die Periode (also hier 360° beim Sinus) addieren oder subtrahieren, aber dann würden wir ja das Intervall verlassen. Also verbleibt es bei den beiden Lösungen.

Nun gehen wir dann mal zu deiner ersten Gleichung zurück. Du hattest ja richtig gesagt, dass ein Faktor Null werden muss. Ich hatte dir schon die Gleichungen notiert, die es somit zu untersuchen gilt. Starten wir mal mit der ersten:



Nun du wieder.
HannibalBarca Auf diesen Beitrag antworten »



360° ist ja schon außerhalb des Spektrums
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Ja - perfekt! Freude

Dann die zweite Gleichung:



edit: Schöner ist es noch, wenn du auch noch hinschreibst was du da berechnest, also die Gleichung sauber löst:





Das wird wichtig für deine zweite Gleichung, wenn du einen Term als Argument hast.
HannibalBarca Auf diesen Beitrag antworten »



also sicher mal 90°
Cos ist aber mit +180°, oder?
also 90° und 270°
Stimmt auch im TR Augenzwinkern
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Nein - das ist der Tangens mit +180°. Das ist gerade die Periode vom Tangens. Hier hast du nur Glück. Was wäre z.B.



und

HannibalBarca Auf diesen Beitrag antworten »




Was rechnet man denn beim Cosinus?
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Guck doch noch mal in den Link bitte den ich gesetzt habe. Wie finden die dort die zweite Lösung für die Gleichung ? 60° wäre ja die erste Lösung.
HannibalBarca Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht schon etwas kompliziert aus. Aber ich vermute 360°-x

Sollte stimmen, denn
ergibt auch 0.5
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

So ist es. Und bei dir ergibt 360°-90° eben auch 270°. Damit hast du dann alle Lösungen gefunden.
HannibalBarca Auf diesen Beitrag antworten »

Und bei B) in diesem Fall






Lösungsmenge= 47°, 133°

oder? smile
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Nein - die zweite Lösung stimmt nicht. Und bitte - ich hatte dir gesagt, wie man es ordentlich aufschreibt.
HannibalBarca Auf diesen Beitrag antworten »


so.. sehe aber nicht wieso die 2. Lösung nicht stimmt.
Man muss ja für die 2. Lösung noch 180° - x rechnen.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Einfacher wird es, wenn du substituierst. Dann lautet deine Gleichung:



Nun rechnest du ganz normal die beiden Lösungen für aus und setzt diese dann oben in ein und löst nach auf.

Deine 180°-x Lösung kommt ja dadurch zu Stande, dass ist. Bei der Gleichung lösen wir also beim zweiten Mal die Gleichung . Und das würde man eben wie folgt auflösen:







Das heißt bei deiner Gleichung müsstest du (ohne Substitution) die Gleichung



nach auflösen.
HannibalBarca Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar,

Also ganz aufgeschrieben:







Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

Nun stimmt es.

Wink
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