Erwartungswert von zwei Zufallsvariabeln

06.08.2017, 17:45

Gowri

Erwartungswert von zwei Zufallsvariabeln

Meine Frage:
Die Aufgabe findet ihr im Anhang.

Meine Ideen:
Die Aufgabe scheint nicht besonders schwer zu sein, doch leider brauche ich trotzdem ein wenig Hilfe.

Habe ich den Erwartungswert E(X) und E(Y) so richtig ausgerechnet?

$\begin{eqnarray*} E(X)=\sum\limits_{k=0}^{2} k*P(X=k)=0*\frac{0}{7} +1*\frac{1}{7} +2*\frac{2}{7} =\frac{5}{7} E(Y)=\sum\limits_{k=0}^{2} k*P(X=k)=0*\frac{0}{3} +1*\frac{1}{3} +2*\frac{2}{3}=\frac{5}{3} \end{eqnarray*}$

Wie rechne ich dann E(XY) aus?

06.08.2017, 19:32

Huggy

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RE: Erwartungswert von zwei Zufallsvariabeln
Zunächst mal geht aus dem Text der Aufgabe nicht hervor, ob mit oder ohne Zurücklegen gezogen wird. Gibt es dazu noch eine Information?

Unabhängig davon kann deine Rechnung in verschiedener Hinsicht nicht stimmen.

Wegen $\begin{eqnarray*} X+Y=2 \end{eqnarray*}$ muss gelten: $\begin{eqnarray*} E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2 \end{eqnarray*}$
Das ist bei dir nicht der Fall.

Es muss gelten: $\begin{eqnarray*} P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1 \end{eqnarray*}$
Das ist bei dir nicht der Fall.

Bei dir ist $\begin{eqnarray*} P(X=0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(Y=0)=0 \end{eqnarray*}$ . Danach wäre es unmöglich, keine weiße Kugel bzw. keine schwarze zu ziehen. Das ist grober Unfug.

07.08.2017, 09:34

Gowri

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RE: Erwartungswert von zwei Zufallsvariabeln
$\begin{eqnarray*} E(X)=\sum\limits_{k=0}^{2} k*P(X=k) =0*(\frac{3}{10}* \frac{2}{9})+1*(\frac{7}{10}*\frac{3}{9}+\frac{3}{10}*\frac{7}{9} )+2*(\frac{7}{10}*\frac{6}{9}) =\frac{7}{5} E(Y)=\sum\limits_{k=0}^{2} k*P(X=k) =0*(\frac{7}{10}* \frac{6}{9})+1*(\frac{7}{10}*\frac{3}{9}+\frac{3}{10}*\frac{7}{9} )+2*(\frac{3}{10}*\frac{2}{9}) =\frac{3}{5} \frac{7}{5}+\frac{3}{5}= E(X) + E(Y) = 2 \end{eqnarray*}$

Jetzt sollten alle Bestimmungen gelten, soweit ich keinen Rechenfehler gemacht habe.
Wie muss man nun E(XY) ausrechnen?

07.08.2017, 10:13

Huggy

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RE: Erwartungswert von zwei Zufallsvariabeln

Zitat:

Original von Gowri
Jetzt sollten alle Bestimmungen gelten, soweit ich keinen Rechenfehler gemacht habe.

Ja, jetzt ist das korrekt.

Zitat:

Wie muss man nun E(XY) ausrechnen?

So, wie man jeden Erwartungswert ausrechnet. Deine Zufallsgröße ist jetzt $\begin{eqnarray*} XY \end{eqnarray*}$ . Wenn du willst, kannst du ihr einen eigenen Namen geben, z. B. $\begin{eqnarray*} Z=XY \end{eqnarray*}$ . Das ist aber nicht notwendig. Zunächst musst du bestimmen, Welche Werte $\begin{eqnarray*} XY \end{eqnarray*}$ annehmen kann. Gilt $\begin{eqnarray*} X=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y=y \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} Z=XY=xy \end{eqnarray*}$ . Dann sind die Wahrscheinlichkeiten für diese Werte zu bestimmen. Dabei musst du beachten, dass die Werte von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ miteinander verknüpft sind. Hast du die möglichen Werte von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ und ihre Wahrscheinlichkeiten, dann berechnest du $\begin{eqnarray*} E(Z) \end{eqnarray*}$ nach der Definition des Erwartungswerts.

07.08.2017, 11:43

HAL 9000

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Folgendes wäre noch festzuhalten:

Zitat:

Original von Huggy
Zunächst mal geht aus dem Text der Aufgabe nicht hervor, ob mit oder ohne Zurücklegen gezogen wird. Gibt es dazu noch eine Information?

Diese Frage ist jetzt leider nicht direkt, aber immerhin indirekt durch die Details der Rechnung beantwortet worden: Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen.

Die Erwartungswerte E(X) und E(Y) sind ja für beide Modelle gleich groß, aber E(XY) nicht.

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