Ein Quantil für die Stichprobe - wie berechnet man es genau? |
| 07.08.2017, 11:13 | mat_sucher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Ein Quantil für die Stichprobe - wie berechnet man es genau? P(min(Xi, i =1,...,N) < -Xa) = 1% wo Xa ist nämlich das gesuchte Quantil, Anzahl der Zufallszahlen N ist etwas größer als 100 und Minuszeichen ist in diesem Fall sehr wichtig. Ich habe verschiedene Methoden im Internet angeschaut, aber bin nicht sicher, ob ich den richtigen Wert bekomme und es gibt bei mir auch keine Erfahrung bei Berechnen solcher Quantile. Die automatischen Perezentilfunktionen aus Excel oder Matlab scheinen mir auch nicht besonders vertrauenswürdig zu sein. Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand diese Situation möglicherweise mit einem Beispiel erklären könnte. |
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| 07.08.2017, 11:29 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Ein Quantil für die Stichprobe - wie berechnet man es genau? Willkommen im Matheboard! Ich bin noch nicht ganz sicher, ob ich Dich verstehe. Nehmen wir mal das einfachste Quantil, den Median. Wenn Deine Zahlen "meist" negativ sind, muss dieser Median dann zwangsläufig auch negativ sein. Dann wäre aber die Wahrscheinlichkeit, dass das kleinste Element Deiner gegebenen Zahlen kleiner als der negative Median (also einer offensichtlich positiven Zahl) ist, nicht nur 1%, sondern das ist sicher! Kannst Du das Problem etwas präzisieren? Viele Grüße Steffen |
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| 07.08.2017, 11:39 | mat_sucher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, ich habe vielleicht etwas undeutlich geschrieben, eigentlich ist Xa positive Zahl bzw. -Xa ist eine negative. Ist jetzt etwas klarer geworden oder? |
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| 07.08.2017, 11:50 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nicht ganz. Du schreibst, Xa ist das gesuchte Quantil. Wie gesagt, wenn die Zahl Xa der Median wäre, muss sie negativ sein und nicht "eigentlich positiv". Suchst Du vielleicht einfach nur das erste Perzentil Deiner Stichprobe? Deine Formel lässt mich das vermuten. Bei exakt 100 Werten wäre das dann zum Beispiel der kleinste Wert der Stichprobe. |
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| 07.08.2017, 12:00 | mat_sucher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, dieses Minuszeichen tatsächlich irretiert. Wenn man vermutet, dass da was negatives steht, dann sieht die Formel so aus: P(min(Xi, i =1,...,N) < Xa) = 1% Xa ist in diesem Fall natürlich negativ. Zwei Sachen lassen mich zweifeln - der negative Quantilwert und Minimum, alle Internet-Beispiele für die Stichprobe enthalten keine Minimum-Funktion. Und ich brauche nicht das erste Perzentil, sondern von dem kleinen Sicherheitsniveau (z.B. 0,5%, 1%, 2%, 5%) abhängige Perzentile zu berechnen. |
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| 07.08.2017, 12:53 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Formel sieht für mich unauffällig aus. Sie sagt ja nur aus, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der kleinste Stichprobenwert kleiner als ein bestimmter Wert ist, ein Prozent beträgt. Und das ist ja einfach die Definition des Perzentils. Das darf natürlich auch negativ sein. Wenn statt ein Prozent dann zwei Prozent, fünf Prozent oder andere Niveaus da stehen, kann man die genauso berechnen. Was gibt es denn genau für Schwierigkeiten? Die benötigten Formeln kennst Du, nehme ich an. |
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| 07.08.2017, 13:34 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für mich stellt sich hier erstmal die Frage: Was ist hier überhaupt gegeben, was ist gesucht??? Kommt m.E. nirgendwo besonders deutlich raus. 
Ok, ich verstehe das so: ist eine mathematische Stichprobe, d.h., die sind unabhängig identisch verteilt. Bei gegebener Verteilung (etwa über Verteilungsfunktion F) der ist der Wert , wo eben gilt, berechenbar: Dann ist nämlich . |
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| 08.08.2017, 11:20 | mat_sucher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für Ihre Antwort, aber ich kenne die Wahrscheinlichkeitsfunktion F nicht, wie kann man Ihre Formel in diesem Fall benutzen? |
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| 08.08.2017, 15:13 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich wiederhole es ein letztes Mal:
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| 08.08.2017, 16:13 | mat_sucher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nur die Zufallsazahlen und das Sicherheitsniveau sind gegeben und keine Wahrscheinlichkeitsfunktion, für die man eine umgekehrte Funktion erstellen kann. Das Quantil Xa wird gesucht. |
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| 08.08.2017, 16:16 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du nur hast nur genau eine Realisierung von den n Zufallszahlen gegeben, und willst das 1%-Quantil vom Minimum dieser n Zufallszahlen haben? Das geht nicht, zumindest nicht ohne weitere Kenntnisse an die Verteilung (z.B. gewisse parametrische Verteilungen). |
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| 09.08.2017, 09:29 | mat_sucher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es gibt in der Tat keine zusätzliche Kentnisse über die Verteilung. Und warum geht's ohne sie gar nicht? Was ist dann mit Formel für Quantil der Zufallszahlen mit unbekannter Verteilung? |
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| 09.08.2017, 09:37 | Steffen Bühler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was soll damit sein? Die Formel fürs Quantil der Stichprobe selbst steht im verlinkten Wiki-Artikel, das kannst Du also einfach ausrechnen. Über Wahrscheinlichkeiten, sei es der Stichprobe, sei es der Grundgesamtheit, kann aber dann keine weitere Aussage getroffen werden. |
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| 09.08.2017, 09:49 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@mat_sucher Wenn gar nichts über die Verteilung bekannt ist, dann können wir auch nur mit nichtparametrischen Methoden arbeiten, also im wesentlichen basierend auf der empirischen Verteilungsfunktion. Betrachten wir doch mal
z.B. für : Dann ist zu bestimmen. Da nicht bekannt ist, kann man allenfalls mit der empirischen Verteilungsfunktion arbeiten. Wenn die aber nur auf 1000 Werten basiert, ist es aussichtslos, ein Quantil zum Niveau 0.00001005 (was eine viel feinere Auflösung als die 0.001, die wir haben, verlangt) zu schätzen. Du verlangst also unmögliches.
Um das Quantil vernünftig schätzen zu können benötigst du a) nicht nur eine, sondern eine ausreichend große Anzahl von Stichproben zu je Werten. Von denen bildest du jeweils das Minimum, und das 1%-Quantil der Minimumwerte ist dann eine Schätzung für (wiewohl nicht selbst). Um der "Auflösung" 1% vernünftig Genüge zu tun, sollte ca. gelten. oder b) eine einzige Stichprobe von Werten geben, so dass die empirische Verteilungsfunktion ausreichend genau geschätzt werden kann (s.o.). Das läuft dann aber ebenfalls auf ca. hinaus, also in etwa derselbe Aufwand wie in a), hier greift gewissermaßen der "Satz von der Erhaltung der Schwierigkeit". 
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