Translationsinvariantes Maß

07.08.2017, 11:22	Ioooo_24	Auf diesen Beitrag antworten »
Translationsinvariantes Maß Meine Frage: Guten Morgen! ich setze mich gerade mit dem Beweis zu folgendem Satz auseinander: Das Lebesgue-Maß $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist das einzige translationsinvariante Maß (Haar'sche Maß) auf dem $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{d} \end{eqnarray}$ (bis auf Normierung). Es erfüllt $\begin{eqnarray} \lambda [0,1]^{d} = 1 \end{eqnarray}$ . Der Beweis dazu sieht wie folgt aus: $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ erfüllt die Bedingungen. $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ sei ein weiteres Maß mit $\begin{eqnarray} \gamma ([0,1]^{d})=a \end{eqnarray}$ . Damit gilt $\begin{eqnarray} \gamma =a \lambda \end{eqnarray}$ auf allen Würfeln $\begin{eqnarray} [0,\frac{1}{m} ]^{d} \end{eqnarray}$ und deren Translaten und daher auf allen Quadern mit rationalen Koordinaten. Diese Quader erzeugen Borelmengen und für alle Borelmengen gilt damit $\begin{eqnarray} \gamma =a \lambda \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich verstehe den Beweis leider nicht. Mir ist nicht klar, warum ein weiteres Maß benötigt wird. Zeigt dieses Maß einfach der Reihe nach, dass es translationsinvariant auf Würfeln ist, dann auf Quadern und letztendlich auf allen Borelmengen? Vielen Dank für eure Mithilfe!
07.08.2017, 16:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Translationsinvariantes Maß Die allgemeine Struktur des Beweis ist: Behauptung: $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist das einzige Maß mit folgenden Eigenschaften. Beweis: Sei $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ irgendein Maß mit genau diesen Eigenschaften. (Paar Sätze später). Es folgt, dass $\begin{eqnarray} \mu = \lambda \end{eqnarray}$ . D.h. $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ist das einzige Maß mit diesen Eigenschaften.

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