Konvergenz von Reihen - Frage zu einer Aufgabe

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Felixxxxxx Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Reihen - Frage zu einer Aufgabe
Meine Frage:
Aufgabenstellung: Bestimmen Sie für welches x die Reihe konvergiert, absolut konvergiert oder divergiert.



Laut Musterlösung wird die Aufgabe mit dem Quotientenkriterium gelöst. Das habe ich auch gemacht, komme nur nicht auf das Ergebnis der Musterlösung. Hier das Ergebnis der Musterlösung:


Die Reihe ist absolut konvergent wenn |x| < 1 und divergent wenn |x| > 1.
Dann muss man noch x=1 und x=-1 betrachten und einsetzen. x=-1 kann man dann gut nach Leibnitz berechnen.

Meine Ideen:
Ich bin wie folgt vorgegangen:



Bis hier her sieht es schon der Lösung recht ähnlich. Aber ich komme jetzt nicht weiter. Ich kann versuchen n oder n² auszuklammern und zu kürzen.

z.B.:

Man kürzt n² einfach weg.
Ich würde mir jetzt die einzelnen Brüche unter der Wurzel anschauen. Die gehen alle für n->unendlich nach 0 (darf man das einfach auch so unter einer Wurzel annehmen?). Das hieße dann:


Das stimmt mal gar nicht mit der Musterlösung überein, weil bei meiner Lösung dann das dort stehen würde:



Somit wäre bei mir für |x| = 0 der Ausdruck eine Nullfolge und absolut konvergent; sonst divergent, da keine Nullfolge.

Ich habe auch versuchen anders zu kürzen bzw. umzustellen, etc. Das hat leider alles nicht das Ergebnis aus der Musterlösung ergeben.

Kann jemand die Musterlösung nachvollziehen und mir einen Tipp geben, was ich falsch mache?

Danke und viele Grüße
Felix
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Reihen - Frage zu einer Aufgabe
Zitat:
Original von Felixxxxxx
Laut Musterlösung wird die Aufgabe mit dem Quotientenkriterium gelöst. Das habe ich auch gemacht, komme nur nicht auf das Ergebnis der Musterlösung. Hier das Ergebnis der Musterlösung:


Wenn das exakt so in der Musterlösung steht, dann ist diese falsch. (Beispielsweise hat das x unter der Wurzel nichts verloren. Auch der Term unter der Wurzel paßt nicht.)

Zitat:
Original von Felixxxxxx
Ich bin wie folgt vorgegangen:


Hier könntest du unter der Wurzel schon mal den Faktor (n+1) rauskürzen.

Zitat:
Original von Felixxxxxx
Ich kann versuchen n oder n² auszuklammern und zu kürzen.

z.B.:

Man kürzt n² einfach weg.
Ich würde mir jetzt die einzelnen Brüche unter der Wurzel anschauen. Die gehen alle für n->unendlich nach 0 (darf man das einfach auch so unter einer Wurzel annehmen?). Das hieße dann:

Prinzipiell ist der Weg ok, aber wenn du den Grenzwert gebildet hast, gehört das Limes-Symbol nicht mehr dorthin. Also bzw. |x| ist dein Grenzwert.

Zitat:
Original von Felixxxxxx
Somit wäre bei mir für |x| = 0 der Ausdruck eine Nullfolge und absolut konvergent; sonst divergent, da keine Nullfolge.

Was soll denn das? verwirrt Jetzt du mal schauen, was denn das Quotientenkriterium bezüglich der Konvergenz der Reihe besagt.
Felixxxxxx Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Reihen - Frage zu einer Aufgabe
Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von Felixxxxxx
Laut Musterlösung wird die Aufgabe mit dem Quotientenkriterium gelöst. Das habe ich auch gemacht, komme nur nicht auf das Ergebnis der Musterlösung. Hier das Ergebnis der Musterlösung:


Wenn das exakt so in der Musterlösung steht, dann ist diese falsch. (Beispielsweise hat das x unter der Wurzel nichts verloren. Auch der Term unter der Wurzel paßt nicht.)

Danke für den Hinweis. Das x steht nicht unter der Wurzel in der Lösung. Der Rest stimmt jedoch mit der Lösung überein.
Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von Felixxxxxx
Ich bin wie folgt vorgegangen:


Hier könntest du unter der Wurzel schon mal den Faktor (n+1) rauskürzen.

Oh bin ich blind. Stimmt, das ist schon einmal der sehr einfache Weg, (n+1) zu kürzen. Danke!
Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von Felixxxxxx
Ich kann versuchen n oder n² auszuklammern und zu kürzen.

z.B.:

Man kürzt n² einfach weg.
Ich würde mir jetzt die einzelnen Brüche unter der Wurzel anschauen. Die gehen alle für n->unendlich nach 0 (darf man das einfach auch so unter einer Wurzel annehmen?). Das hieße dann:

Prinzipiell ist der Weg ok, aber wenn du den Grenzwert gebildet hast, gehört das Limes-Symbol nicht mehr dorthin. Also bzw. |x| ist dein Grenzwert.

Okay, danke.
Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von Felixxxxxx
Somit wäre bei mir für |x| = 0 der Ausdruck eine Nullfolge und absolut konvergent; sonst divergent, da keine Nullfolge.

Was soll denn das? verwirrt Jetzt du mal schauen, was denn das Quotientenkriterium bezüglich der Konvergenz der Reihe besagt.

Hust. Nochmals danke für den Hinweis.

- absolut konvergent, wenn:
- divergent wenn
Ich denke wenn = 1, dann können wir keine Aussage treffen.

Mich beruhigt, dass ich nicht ganz doof bin.

Vielen Dank Klarsoweit!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz von Reihen - Frage zu einer Aufgabe
Zitat:
Original von Felixxxxxx
Danke für den Hinweis. Das x steht nicht unter der Wurzel in der Lösung. Der Rest stimmt jedoch mit der Lösung überein.

Dann stimmt die Musterlösung nicht. Kann ja mal vorkommen. Augenzwinkern
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