Eigenschaften der stochastischen Integration

07.08.2017, 20:28	Dukkha	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenschaften der stochastischen Integration Hallo zusammen, Ich verstehe zwei Schritte im Beweis der folgenden Proposition nicht. Edit: $\begin{eqnarray} A \cdot B \end{eqnarray}$ bedeuted das Stochastische Integral von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ mit Integrator $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ (Semimartingal) Proposition: Fix $\begin{eqnarray} M\in\mathcal{M}^c_{0,\text{loc}} \end{eqnarray}$ and $\begin{eqnarray} H \in L^2(M) \end{eqnarray}$ . If $\begin{eqnarray} G\in L^2(H\cdot M) \end{eqnarray}$ , then $\begin{eqnarray} GH\in L^2(M) \end{eqnarray}$ and we have $\begin{eqnarray} (GH)\cdot M = G\cdot (H\cdot M) \end{eqnarray}$ , i.e. $\begin{eqnarray} \int GH \mathrm{d}M = \int G \mathrm{d}\left(\int H \mathrm{d}M \right) \end{eqnarray}$ Ich habe ein Fragezeichen über die Gleichheitszeichen gestellt, die ich nicht verstehe. Proof: Using that for every $\begin{eqnarray} N\in\mathcal{M}^c_{0,\text{loc}} \end{eqnarray}$ we have $\begin{eqnarray} \langle H\cdot M,N\rangle =\int H \mathrm{d}\langle M,N\rangle \end{eqnarray}$ we obtain $\begin{eqnarray} \\|GH\\|^2_{L^2(M)} = \mathbb{E}\left[\int_0^\infty G_s^2 H_s^2 \mathrm{d}\langle M\rangle_s \right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \stackrel{?}{=} \mathbb{E}\left[\int_0^\infty G_s^2 \mathrm{d}\langle H\cdot M\rangle_s\right]= \\|G\\|^2_{L^2(H \cdot M)} \end{eqnarray}$ Ich verstehe diesen Schritt nicht. Weshalb können wir dieses $\begin{eqnarray} H^2_s \end{eqnarray}$ in den Integrator ziehen und bekommen $\begin{eqnarray} \mathrm{d}\langle H\cdot M\rangle_s \end{eqnarray}$ ? Proof continues and for any $\begin{eqnarray} N\in\mathcal{M}^c_{0,\text{loc}} \end{eqnarray}$ we have $\begin{eqnarray} \langle(GH)\cdot M,N \rangle = \int GH \mathrm{d}\langle M,N \rangle \stackrel{?}{=} \int G \mathrm{d}\left( \int H \mathrm{d}\langle M,N \rangle\right)=\int G \mathrm{d}\langle H\cdot M,N \rangle =\langle G\cdot (H\cdot M),N \rangle \end{eqnarray}$ Gleiche Frage wieder, weshalb ist das möglich?
09.08.2017, 17:20	SHigh	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften der stochastischen Integration Hallo, alles ohne Gewähr: Es gilt wohl $\begin{eqnarray} \langle M\rangle =\langle M,M\rangle \end{eqnarray}$ und somit mit der Symmetrie des Skalarprodukts und der Vorüberlegung (falls das Überhaupt ein Skalarprodukt o.Ä. sein soll) $\begin{eqnarray} \int_0^\infty G_s^2 H_s^2 \mathrm{d}\langle M\rangle_s = \int_0^\infty G_s^2 H_s^2 \mathrm{d}\langle M,M\rangle_s = \int_0^\infty G_s^2 H_s\mathrm{d}\langle H \cdot M,M\rangle_s = \int_0^\infty G_s^2 H_s\mathrm{d}\langle M,H \cdot M\rangle_s = \int_0^\infty G_s^2 \mathrm{d}\langle H\cdot M,H \cdot M\rangle_s = \int_0^\infty G_s^2 \mathrm{d}\langle H \cdot M\rangle_s \end{eqnarray}$ . Ich warte mal deinen Kommentar ab, ob das irgendwie Sinn macht, dann würde ich weiter an der zweiten Frage überlegen. Viele Grüße
10.08.2017, 02:00	Dukkha	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenschaften der stochastischen Integration Hallo, Das ist zwar eine Bilinearform, aber kein Skalarprodukt. Das ist der quadratische Variationsprozess bezüglich das Itô-Integral integriert wird. Ich bin auch mehr daran interessiert, weshalb dies möglich ist, also ein Beweis und keine "Rechenregeln". Danke trotzdem! Edit: Im übrigen habe ich keine Integrationsgrenzen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »