Integralaufgabe mit sin / cos

08.08.2017, 14:48

Mathe:(

Integralaufgabe mit sin / cos

Ahoi zusammen,
ich sitze an einer Laplace Rücktransformation mittels Faltungssatz. Das ganze ist ja aber eigentlich eine reine Integralaufgabe.

Folgendes Integral habe ich:

$\begin{eqnarray*} f=\int_{0}^{t} \! t*sin(t-u) \, du \end{eqnarray*}$

Zuerst wollte ich sin(t-u) direkt integrieren, bin aufs falsche Ergebnis gekommen und habe es danach nochmal etwas anders versucht, da ich dachte ich hätte sin(t-u) falsch integriert .Das Ergebnis deckt sich jedoch mit dem Ergebnis meines zweiten Versuchs.

Also war mein Ansatz durch das Additionstheorem:

$\begin{eqnarray*} f=t\int_{0}^{t} \! [sin(t)cos(u)-cos(t)sin(u)] \, du \end{eqnarray*}$

Dadurch wollte ich das unschöne t-u im sinus umgehen und mir die Integration etwas leichter, aber dafür länger machen.
Noch etwas umgestellt, durch den konstanten Faktor:

$\begin{eqnarray*} f=tsin(t)\int_{0}^{t} \! cos(u) \, du -tcos(t)\int_{0}^{t} \! sin(u) \, du \end{eqnarray*}$

Integrationsgrenzen eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} f=tsin(t)[sin(t)-0] - tcos(t)[-cos(t)+1] \end{eqnarray*}$

Danach t ausgeklammert:

$\begin{eqnarray*} f=t[sin^{2}(t)+cos^{2}(t)-cos(t)] \end{eqnarray*}$

Trigonometrischer Pythagoras:

$\begin{eqnarray*} f=t[1-cos(t)] \end{eqnarray*}$

Da wäre ich am Ende angekommen, jedoch sollte nach dem Faltungssatz nun: $\begin{eqnarray*} t-sin(t) \end{eqnarray*}$ raus kommen, was etwas anderes ist. verwirrt

Kann da jemand einen Fehler entdecken? smile

08.08.2017, 14:49

Mathe:(

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RE: Integralaufgabe mit sin / cos
nvm

08.08.2017, 15:22

HAL 9000

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RE: Integralaufgabe mit sin / cos
Der "direkte" Weg

$\begin{align*} f = \Big[ t\cos(t-u) \Big]_{u=0}^t = t\cos(0)-t\cos(t) = t(1-\cos(t)) \end{align*}$

bestätigt dein Ergebnis.

Kann es sein, dass du dieses Integral mit $\begin{align*} \int\limits_0^t {\color{red}u}\cdot \sin(t-u) ~ \dd u = t-\sin(t) \end{align*}$ verwechselst? verwirrt

08.08.2017, 16:42

Mathe:(

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RE: Integralaufgabe mit sin / cos

Zitat:

Original von HAL 9000
Der "direkte" Weg

$\begin{align*} f = \Big[ t\cos(t-u) \Big]_{u=0}^t = t\cos(0)-t\cos(t) = t(1-\cos(t)) \end{align*}$

bestätigt dein Ergebnis.

Kann es sein, dass du dieses Integral mit $\begin{align*} \int\limits_0^t {\color{red}u}\cdot \sin(t-u) ~ \dd u = t-\sin(t) \end{align*}$ verwechselst? verwirrt

Ahh ja, da haben wir den Fehler. Ich habe den Faltungssatz falsch angewandt. smile

Ich hatte schon den blöden Verdacht, dass ich F(s)1 und F(s)2 nicht beliebig wählen kann und ggf. vertauscht habe.

Erneut vielen Dank! Wink

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