Laplace Rücktransformation mit Zeitverschiebung

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Baril Auf diesen Beitrag antworten »
Laplace Rücktransformation mit Zeitverschiebung
Meine Frage:
Kann mir jemand bei der Laplace Rücktransformation vom Bildbereich in den Zeitbereich helfen?

Ich habe folgende Funktion vom Bildbereich...

Außerdem habe ich bereits die Steigung bt=5 und Kst=0,05 bestimmt. Um aber Tst zu bestimmen fehlt mir jetzt eben die Rücktransformation vom Bildbereich in den Zeitbereich. Außerdem gibt es eine Zeitverschiebung bei der Streckenantwort der Rampe und zwar genau dann wenn die Haftreibung überwunden wird von Th=3s die zu Betrachtende Strecke ist t=10s.
Deshalb ist meine Frage wie Rücktransformiere ich nach Laplace wenn ich eine e-Funktion in der Gleichung habe für die Steigung im Bereich td=t-th
Hinweis: Die e-Funktion kann im Bereich wo v näherungsweise linear steigt vernachlässigt werden.

Meine Ideen:
Der Ansatz wäre jetzt:
Rampe tau(t)=taub1(t)-tauH1 endet nach td=t-th (td=10s-3s) und hat eine Steigung von 5. Die neue Zeitachse ist td=t-th.

1. Zeitverschiebung zur Bildfunktion hinzufügen


2. Partialbruchzerlegung


3. Koeffizientenvergleich
A = Kst
B+A*Tst = 0
B*Tst +C = 0
B = -Kst*Tst
C = Kst*Tst^2



t>0
v(t) = Kst*t -Kst*Tst + Kst*Tst*e^(-t/Tst)

Für große Zeiten von t
v(t) = Kst*(t-Tst)

Dieser Ansatz ist leider falsch nachdem die Steigung nicht 0 ist sondern 5.
Baril Auf diesen Beitrag antworten »
neuer Ansatz


1.Verschiebesatz



somit gilt



mit td=t-th (t=10;th=3)







2. Partialbruchzerlegung



Im Bereich td=t-th wird die e-Funktion vernachlässigt



und aus Tabelle für Re s > max (0,-Re1/T)



Zeitfunktion aus Tabelle



mit 1=Kst*bt (Kst=0,05;bt=5;T=Tst;t=td=t-th=7s)





für td<=3 gilt v(td)=0

für td>3 >=10 gilt

und Tst*e^(-7/Tst) läuft gegen 5

und Gleichung auflösen nach Tst

(7-Tst)*0.25 --> Tst=7

Kann das so stimmen? Für mich ist Tst hier viel zu groß ich kenne die Zeitkonstante der Strecke immer nur ziemlich klein. Hammer
 
 
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Die e-Funktion wird aus einer Sicht im Zeitbereich vernachlässigt
Du hast sie aber offenbar im Bildbereich schon weggelassen
Kann das sein?

Ich glaube man kommt auf (7-2*Tst)*0.25
Baril Auf diesen Beitrag antworten »
1. Verschiebesatz
Hallo xb,

könntest du bitte ganz am Anfang schauen ob hier der Verschiebsatz richtig angewendet wurde.
Ich glaube nämlich das der Ansatz nicht passt. Die habe ich Weggelassen weil ich das aus der PArtialbruchzerlegung so kenne das man die E-Funktion ignoriert. Aber im Grunde hast du recht es wurde nur die Funktion ohne Verschiebung dargestellt. Aber ich verstehe nicht wie man die e-Funktion nach unten überführt oder ist es einfach tau(t-th) --> aus L-Tabelle?

Und noch eine Frage beschreibt mir die Zeitkonstante der Strecke jetzt eigentlich die Schrittweite oder wie darf ich die Zeitkonstante verstehen?
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Ich müsste mal die ganze Aufgabe sehen
Baril Auf diesen Beitrag antworten »
Rampe und Rampenantwort sehen ungefär so aus
Reicht dir das oder welche Infos brauchst du noch?
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Also dein Ergebnis stimmt



Nur um T zu berechnen muss die e-Funktion noch berücksichtigt werden
weil T zu groß ist

So etwa



Zitat:

Hinweis: Die e-Funktion kann im Bereich wo v näherungsweise linear steigt vernachlässigt werden

Das erleichtert die Berechnung von T.Aber dieser Bereich ist außerhalb von t=10s
und da gibt es keinen Funktionswert
Baril Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort
Hallo nochmal xb,

danke schonmal für deine Antwort.

Also wird die e-Funktion der Bildfunktion wie vermutet einfach vernachlässigt.
Du hast die Zeitachse des Graphen genommen oder?
Es soll ja eine neue Zeitachse für td=t-th eingeführt werden. Was auch immer damit gemeint ist...
oder heißt das nur ich schreibe td auf die Zeitachse und th bei 3 und t bei 10 hin?

Hast du die e-Funktion gegen 5 gehen lassen oder wie hast du das Ergebnis bekommen?
Was genau sagen mir die Tst=3,5s jetzt eigentlich?

Tst= Zeitkonstante der Strecke: Bedeutet das die kontinuierliche Verschiebung von der Zeit ist 3,5s also in 3,5er Schritten geht es voran oder was fange ich mit diesem Wert jetzt an?
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Baril
Also wird die e-Funktion der Bildfunktion wie vermutet einfach vernachlässigt.

Ja.Aber die Verschiebung muss man in die Lösung einbauen
Das sieht dann so aus


H ist die Heavyside Funktion


Zitat:
Original von Baril
Es soll ja eine neue Zeitachse für td=t-th eingeführt werden. Was auch immer damit gemeint ist...

t-th durch td ersetzen


H(td) ist jetzt immer 1 und kann deshalb weggelassen werden




Zitat:
Original von Baril
Hast du die e-Funktion gegen 5 gehen lassen oder wie hast du das Ergebnis bekommen?

Ich habe nichts gegen 5 gehen lassen
Was für ein Ergebnis meinst du? T=3.5?
Nullstellenberechnung mit dem Onlinerechner


Zitat:
Original von Baril
Was genau sagen mir die Tst=3,5s jetzt eigentlich?

Da würde ich mal das lesen
https://de.wikipedia.org/wiki/Zeitkonstante
Es muss aber klar sein,dass mit bt eine veränderte Situation vorliegt
da ist das mit der Zeitkonstanten nicht mehr so eindeutig

Zitat:
Original von Baril
was fange ich mit diesem Wert jetzt an?

Wie was fange ich an?
Das ist die Lösung,damit kann man dann rechnen
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube wir müssen die Aufgabe nochmal überdenken

Die ist so nicht gemeint
Die bisherige "Lösung" besagt,dass das System zeitversetzt auf das Signal antwortet
Wie bei einem Signal zum Mond.Das dauert etwas bis das Signal ankommt

Aber hier gibt es 2 Antworten
Das heißt,dass das System sofort reagiert
Baril Auf diesen Beitrag antworten »
Denk denk...
Morgen xb,

danke für deine Antworten haben mir sehr geholfen.

Hier wird ein Roboterarm betrachtet einmal bei maximaler Trägheit einmal bei minimaler Trägheit.
Es gibt noch einen zweiten Graph mit einem anderen Verlauf aber das ist hier jetzt erstmal Nebensache nachdem wir bisher nur einen Fall betrachtet haben.

Aber fürs Verständnis:
Der Motor wird bestromt und das Drehmoment steigt stetig wie in der Rampe zu sehen mit Steigung 5.
Die Rampenantwort zeigt uns den Punkt an dem die Haftreibung überwunden wird th=3 danach muss die maximale Geschwindigkeit erst erreicht werden das sehen wir auch im Graph durch eine exponentielle Steigung (. Dann liegt bis 10s eine stetige Steigerung der Geschwindigkeit vor bis die maximale Geschwindigkeit erreicht ist.

Bedeutet doch:



0,25 ist die Verschiebung vom 0 Punkt wegen der Verzögerung
T*e^(td/t) kann vernachlässigt werden und wäre der unstetige Anstieg
td-T wäre der Verlauf stetige Steigung der Geschwindigkeit

Und was gefällt dir daran jetzt nicht? Es zählen auch nur reelle T nachdem es eine praktische Aufgabe ist.

Grüße
Baril
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben wohl folgende Bewegungsgleichung


Da es eine Drehbewegung isr wäre omega vielleicht besser als v


Das führt dann dazu

hier würde ich nur b schreiben


Jetzt die Verschiebung


Das stimmt nicht

weil die Bewegungsgleichung zum Zeitpunkt das Anlaufens des Roboterarms so aussieht


Es gibt beim Loslaufen schon ein Drehmoment M=15Nm


Zurück zu


also sieht die Verschiebung so aus



Das bekommt man,wenn diese Gleichung in die Laplaceform bringt




Kann es sei,dass du das K falsch berechnet hast?
Ist K vielleicht 1/0.05 =20?

Der wesentlich Unterschied der beiden Kurven ist,das man bei der neuen Kurve im v-t Diagramm
beim Loslaufen eine Steigung m>0 hat
Baril Auf diesen Beitrag antworten »
Diskussion Ergebnis
Hallo xb,

also Kst= 1,65/35=0,05 die tauH1= 15Nm ist der Wert der Haftreibung die der Motorkraft von 50Nm entgegenwirkt.
Auf das PT1-Glied wirkt ab tH (Zeit in der die Haftreibung überwunden ist) eine Rampe taud(t)=taub1(t)-tauH1. Das ist eine Rampe mit derselben Steigeung (5) die Rampe endet bei 10 sec-tH.

Die Zeitkonstante TST (den Summanden mit dem e-Teil kann man ja am ehesten vernachlässigen, wenn die Rampenantwort so lange wie möglich ansteht!).

Vielleicht hilft hier das Blockschaltbild weiter...
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Ansatz ist richtig



Und mit Störung sieht das aus meiner Sicht so aus

Baril Auf diesen Beitrag antworten »
Zusatzfrage
Hallo xb,

hab da mal noch eine Frage zu Tst. Wenn ich mir die Gleichung so ansehe...



Habe ich dort keinen Einfluss der Massenträgheit. Also wie kann man die Zeitkonstante Tstmin und Tstmax bestimmen? Also wenn der Roboterarm senkrecht steht und wenn er im 90° Grad Winkel steht zum ersten Gelenk.
Die Rampenantworten sehen ziemlich ähnlich aus bis auf das max. Trägheit bisschen weiter nach rechts geschoben ist.

Grüße
Baril
xb Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusatzfrage
Zitat:
Original von Baril



Also nochmal.DAS STIMMT NICHT
Da bringt es auch nicht viel,dass diese "Rampenantwort" ähnlich ist

Berechne doch mal

Was kommt da raus und was müsste rauskommen


Zitat:
Original von Baril
Wenn ich mir die Gleichung so ansehe...

Habe ich dort keinen Einfluss der Massenträgheit.

Doch da ist ein Einfluß der Massenträgheit

Ich weiß,dass das bei diesen Aufgaben eher unüblich ist
aber betrachte doch mal die dazugehörige Differentialgleichung


J ist das Massenträgheitsmoment


Und jetzt sage mir wo J hier ist

Baril Auf diesen Beitrag antworten »
Massenträgheit
Hallo xb,

ja irgendwie hast du recht das kann nicht stimmen weil in der Funktion kein Unterschied zwischen Massenträgheit und keiner Massenträgheit gemacht wird.

Die Rampenantwort für maximale Massenträgheit und minimale Massenträgheit unterscheiden sich eigentlich nur in dem Teil der e-Funktion nachdem die Haftreibung überwunden wurde.

- bei min. Trägheit geht die e-Funktion bis 0,2 rad/s
- bei max. Trägheit geht e-Funktion bis 0,4 rad/s

Also bei maximaler Trägheit verlängert sich die Zeit bis volle fahrt erreicht ist (was ja logisch ist).

Hab hier grad in der Literatur was gefunden:
Um zu einem entkopplten linearen Modell zu kommen mit konstanten Parametern nimmt man einen Mittelwert für das Trägheitsmoment an. Und äußere Einflüsse werden zu der Störgröße z zusammengefasst wie Gravitation, statische Reibung usw.

Denke das ist der Grund warum er in der Gleichung nicht auftaucht. Aber jetzt wird ja eigentlich die Retourkutsche gemacht. Aus den Rampenantworten soll jetzt Tstmin und Tstmax bestimmt werden. Und diese hängen ja eigentlich mit dem Trägheitsmoment zusammen.

Oder ist Tstmin = Tstmax weil die Rampe ist ja gleich und die Rampenantwort ist nur verschoben aber die Steigung ist auch gleich.

Grüße
Baril
xb Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Massenträgheit
Zitat:
Original von Baril
ja irgendwie hast du recht das kann nicht stimmen weil in der Funktion kein Unterschied zwischen Massenträgheit und keiner Massenträgheit gemacht wird.

Doch das macht sie
Es gilt nämlich

J ist das Trägheitsmoment

Und jetzt nochmal die Zusammenfassung

Das ist dein Ansatz



dieser führt zu



Aber aufgrund der Reibung setzt sich der Roboterarm
erst zum Zeitpunkt th in Bewegung

Deshalb lautet die Lösung so




Aber mir ist es immer noch ein Rätsel
wieso hier die Variable v genommen wird
v ist doch die Geschwindigkeit und dann stimmen die Einheiten nicht
Baril Auf diesen Beitrag antworten »

Aber th ist doch immer gleich bei 3s bein min. Trägheit und bei max. Trägheit.
Also ändert es mir hier doch Tst nicht.

Der einzige Unterschied liegt bei dem e-Teil der eben schneller oder langsamer ansteigt bis v stetig wird.
Und wenn ich den e-Teil vernachlässigen kann ändert das doch nicht mein Tst oder liege ich da falsch?

Dann wäre doch die Bildfunktion schon falsch oder eben vereinfacht wenn ich das richtig sehe oder?

xb Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Baril
Aber th ist doch immer gleich bei 3s bein min. Trägheit und bei max. Trägheit.
Also ändert es mir hier doch Tst nicht.

th ändert T nicht
T ist von J und K abhängig

Zitat:
Original von Baril
Dann wäre doch die Bildfunktion schon falsch oder eben vereinfacht wenn ich das richtig sehe oder?

Ja sie ist vereinfacht

Man kann sie jetzt vereinfacht lösen und dann die Verschiebung in die Zeitfunktion einbauen
Das ist etwas schwierig.Oder? Zumindest bei dieser Aufgabe weißt du ja jetzt wie es geht

Oder man baut die Verschiebung in die Bildfunktion ein und löst dann

Baril Auf diesen Beitrag antworten »

Also das kann ich mir einfach nicht vorstellen.

Die Bildfunktion ist aus der Aufgabe und soll über eine inverse Laplace zu der Zeitfunktion gewandelt werden. Um eben Tstmin und Tstmax bestimmen zu können.

Und die Verschiebung H(t-th) wird doch eingebaut nur das diese eben 1 ist. Oder ist H(t-th) doch nicht 1?

Also ich denke man muss über die Graphen und die Verschiebung dort das Trägheitsmoment bestimmen.

Was wir dann bestimmt haben wäre der Mittelwert von Tst und über den Mittelwert und die Graphen muss jetzt das Trägheitsmoment von max und min bestimmt werden. Aber das ist nur meine Vermutung kann natürlich auch sein ich falsch liege. Außerdem weiß ich nicht welcher wert der Grafik mir helfen kann um das Trägheitsmoment zu bestimmen.
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Die Kurven haben eine gewisse Ähnlichkeit mit



Das ist aus meiner Sicht falsch

Aber wie könnte man jetzt weiterrechnen

Aus den Kurve eine Wertetabelle ermitteln
und dann zu jedem Punkt ein T berechnen.Dann den Mittelwert

Beim oberen Bild habe ich etwa T=3.05s



xb Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Baril
Kst= 1,65/35=0,05

Du hat den Wert nach 7s genommen,aber man braucht die 50Nm
der Zahlenwert ist dann K=1,65/50=0,033
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe ist jetzt klar

Das Problem ist,das es ein Reibungsmoment von 15Nm gibt
Am Anfang hieß es,das es eine Haftreibung gibt.
Diese "Haftreibung" wirkt aber auch während der Bewegung

Dann stimmt auch dein K. Das ist dann K=1.65/(50-15)=0.05

Wenn man jetzt noch die Bilder auswertet hat man für das erste Bild





(2.85,2.81,2.91,2.94,3.02)
Mittelwert T=2.91




und beim 2.Bild ist T=3.80

(3.66,3.71,3.89,3.82,3.93)

Die Werte in Klammer sind die von mir ermittelten Werte von T
braucht man eventuell für eine Fehlerrechnung

Über die Einheiten sollte man auch mal nachdenken
Baril Auf diesen Beitrag antworten »
Warum dann nicht gleich über den Mittelwert aus Graph
Hallo xb,

danke auf jeden Fall für deine Hilfe.
Aber eine Sache erschließt sich mir jetzt hier nicht.
Wofür braucht man dann überhaupt die Bildfunktion wenn man Tstmin und Tstmax über den Mittelwert der Bilder bestimmen kann.

Dann wäre der gabze Aufwand doch überhaupt nicht nötig gewesen. Oder wird die Funktion für einen Zwischenschritt gebraucht?

Grüße
Baril
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Erst nochmal eine Korrektur K=1.65/35=0.0471

wir haben jetzt



Aus den Bildern kann man eine Wertetabelle ermitteln

zB im 1.Bild td=2.44 und v(2.44)=0.2
Diese beiden Werte einsetzen und T ermitteln



und das mit mehreren Punkten
Mit dem neuen K kommt man auf einen Mittelwert von T=2.63



und das ist jetzt wirklich das Ergebnis
Baril Auf diesen Beitrag antworten »
Tstmax
Hallo xb,

habe jetzt das gleiche bei der zweiten Zeichnung gemacht und bekomme jetzt

Jmax=51,278kgm^2 heraus und für Tstmax=2,4152

Hast du das auch?

Also um genau zu sein müsste doch dein Ergebnis Tstmax sein und meines Tstmin sein richtig?

Es gilt also:

Tstmin= 2,42 --> Jmin=51,278kgm^2

und

Tstmax= 2,63 --> Jmax=55,8kgm^2

ist den ein so geringer Unterschied praktisch vorstellbar? Da geht es doch schon um größere Massen die dort bewegt werden.

Der hier betrachtete Roboterarm hat z.B. ein Gewicht von 111kg bei einer maximalen Traglast von 20kg. Rechweite 1000mm



Grüße
Baril
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Hier mal eine Wertetabelle zum 1.Bild



Jetzt muss man zu jedem Wertepaar ein T ermitteln und zwar damit

Baril Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung Wertabelle und Tst
Hallo xb,

ja gut passt hatte die gleiche Zeichnung genommen:



Für Tst Bild 1 ergibt sich:
Tst= 2.63



Für Tst Bild 2 ergibt sich:
Tst=2.905 --> Jmax=61.68kgm^2

Jetzt passt endlich soweit oder hast du noch Anmerkungen?
Und trotzdem noch die Frage sind so geringe Abweichungen von Jmin zu Jmax normal?
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Beim 2.Bild habe ich eine andere Wertetabelle

Baril Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also dann ist Tmax=3,4648 -->73,56kgm^2

Wie liest du die Werte so präzise von den Bildern ab?

Oh man war das eine schwere Geburt ich glaub es nicht.

Danke für deine großartige Hilfe!
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Baril
Wie liest du die Werte so präzise von den Bildern ab?

Mit dem Bildbearbeitungsprogramm Gimp


Wie könnte man die Differenz der Trägheitsmomente erklären?




Normalerweise gibt es noch eine Fehlerrechnung,weil man pro Bild 5 Werte von T hat
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt noch den 2.Teil der Kurve berechnet

Hier habe ich 2 Bilder übereinandergelegt
Nämlich dein 1.Bild und die berechneten Kurven

Sie sind nahezu identisch
Baril Auf diesen Beitrag antworten »
Resümee
Morgen xb,

danke nochmal für deine Ausführungen.

Zusammenfassend könnte man dann sagen das Trägheitsmoment kaum Einfluss auf das Bewegungsverhalten hat.

Wenn ich nun weiterrechne wie muss ich die Zeitkonstante Tr sinnvoll wählen wenn ich eine Dämpfung von habe?
Baril Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu muss ich erstmal ein grundsätzliche Frage stellen:
Was heißt den die Dämpfung und die Zeitkonstante werden vorgegeben und von dem Versuchsingenieur geeignet gewählt. Gibt es dazu eine Faustregel oder wie soll die geeignete Wahl hier aussehen?

Ich kenne nur die Einstellregeln von Ziegler/Nicholsnachdem ich aber hier eine Rampenantwort habe und keine Sprungantwort hilft mir diese Regel hier nicht weiter.

Habe jetzt bisher eben nur die Dämpfung gefunden die wohl bei sich in der Praxis bewiesen hat. Aber von Tr Zeitkonstante keine Spur. Oder hängt diese wieder mit dr zusammen und ich lese quasi bei die Zeitkonstante Tr einfach ab von der Rampenantwort?

Dann wäre Tr=3,3947s

Grüße
Baril
Baril Auf diesen Beitrag antworten »
Weiterführende Rechnung
Also ich habe jetzt für

Tstmin mit drmin=0,7 und Trmin= 3,3947 folgende Ergebnisse für Nachstellzeit und Verstärkung von

Kpmin=2,03 und Tn=0,42s

für Tstmax mit drmax=0,7 und Trmax= 1,8026 folgende Ergebnisse für Nachstellzeit und Verstärkung von

Kpmax=36,57 und Tn=1,6128s

Wenn ich den Regler jetzt simuliere bekomme ich folgendes Ergebnis für Tstmin und Tstmax:

Verstehe jetzt nicht warum hier das gleiche herauskommt...?
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du dir die Frage selbst überlegt?
Das macht aus meiner Sicht keinen Sinn

Was soll die Dämpfung hier sein?

und Nachstellzeit sehe ich auch keine

Bitte die ganze Aufgabe hinschreiben

Ich muss auch erwähnen,dass das hier ein Mathematikforum ist und kein Technikforum
Vielleicht bekommst du wo anders bessere Hilfe
was ich allerdings bezweifele smile
Baril Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe Entwurf PI-Geschwindigkeitsregler und Simulation des Regelkreises
Hallo xb

ja ich weiß da kann mir keiner Helfen.

Parameter Kp1 und Tn1 sollen entworfen werden mit

Dazu habe ich Tr und dr werden benötigt um Kp1 und Tn1 zu bestimmen. Diese sollen sinnvoll gewählt werden.

Eingesetzt in:



und



bekomme ich mit dr=0,7 und Trmax= 1,8026 und Trmin=3,3947 folgend Ergebnisse (Abgelesen aus Rampenantwort)

Kpmax=36,57 und Tn=1,6128s
Kpmin=2,03 und Tn=0,42s

Wenn ich das dann mit den unterschiedlichen Werten simuliere bekomme ich die oben gestellten Graphen.

Die Frage ist wie wählt man sinnvoll dr und Tr?
Und warum unterscheiden sich die Graphen nicht mit den unterschiedlichen Kp und Tn?

Grüße
Baril
xb Auf diesen Beitrag antworten »

Die Sprungantwort kann man berechnen siehe Bild
und daraus dann möglicherweise Tr ermitteln und bei dem dr vielleicht 1/sqr(2)
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