Diophantische Gleichungen

10.08.2017, 11:16	helpmeplss	Auf diesen Beitrag antworten »
Diophantische Gleichungen Meine Frage: Beschreiben Sie alle Lösungen der folgenden linearen Diophantischen Gleichungen, sofern sieexistieren. Lösen Sie die Aufgaben. a) $\begin{eqnarray} 143x + 299y = 13. \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} 6x + 10y + 15z = 0. \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} x + y + z = 0. \end{eqnarray}$ Meine Ideen: a) $\begin{eqnarray} 143x + 299y = 13. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ggt(299,143)=13 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 13\|13 \end{eqnarray}$ deshalb lösbar bezout identität $\begin{eqnarray} 13=299\cdot{}1-2\cdot{}143 \end{eqnarray}$ ,d.h dass unser $\begin{eqnarray} x_0=-2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_0=1 \end{eqnarray}$ ist. Da zufälligerweise der $\begin{eqnarray} ggt(299,143) \end{eqnarray}$ ober der $\begin{eqnarray} 13 \end{eqnarray}$ gleicht, haben wir direkt eine spezielle lsg gefunden,die da $\begin{eqnarray} x_0=-2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_0=1 \end{eqnarray}$ ist. nun beschreibe ich die Allgemeine Lösung durch $\begin{eqnarray} (x,y)=(x_0+\frac{b\cdot{}t}{ggt(a,b)},y_0-\frac{a\cdot{}t}{ggt(a,b)}\| t \in \mathbb Z) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a=143,b=299 \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} (x,y)=(x_0+\frac{b\cdot{}t}{ggt(a,b)},y_0-\frac{a\cdot{}t}{ggt(a,b)}\| t \in \mathbb Z) =(-2+\frac{299\cdot{}t}{13},1-\frac{143\cdot{}t}{13}) =(-2+23\cdot{}t,1-11\cdot{}t\| t \in \mathbb Z) \end{eqnarray}$ b) dies ist ja eine homogene diophantische gleichung $\begin{eqnarray} 6x + 10y + 15z = 0. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ggt(a,b,c)=ggt(ggt(a,b),c) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ggt(6,10,15)=ggt(ggt(6,10),15)=ggt(2,15)=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1=15\cdot{}1-14\cdot{}6-7\cdot{}10 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1\|0 \end{eqnarray}$ deshalb lösbar. ich hab keine Ahnung wie ich jetzt vorgehen soll. Ich hab das hier schonmal ausgecheckt http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/diophant.htm , aber ich raff dieses Verfahren nicht. kann mir jemand bitte helfen?
10.08.2017, 11:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es soll die diophantische Gleichung 6x + 10y + 15z = 0 gelöst werden. Das von Euler entwickelte Verfahren ist eng verwandt mit dem euklidischen Algorithmus. Man betrachtet nur die jeweiligen Reste bei der Division durch einen der Koeffizienten, geeigneterweise den mit dem kleinsten Betrag, und reduziert die Reste dadurch solange, bis nur noch ein ganzzahliger Rest bleibt. Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist x. Die Gleichung wird nach x umgeformt: 6x = -10y - 15z -10y - 15z x = ———————————— 6 Nun wird der Bruch durch komponentenweise Division mit Rest in einen Teil mit ganzzahligen Koeffizienten und den Rest zerlegt: -4y - 3z x = -y - 2z + —————————— 6 Da alle anderen Summanden ganzzahlig sind, muß auch der Restbruch ganzzahlig sein. Der ganzzahlige Parameter a wird eingeführt und dem Bruch gleichgesetzt: -4y - 3z a = —————————— 6 6a = -4y - 3z Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist z. Die Gleichung wird nach z umgeformt: 3z = -4y - 6a -4y - 6a z = —————————— 3 Nun wird der Bruch durch komponentenweise Division mit Rest in einen Teil mit ganzzahligen Koeffizienten und den Rest zerlegt: -y z = -y - 2a + ———— 3 Da alle anderen Summanden ganzzahlig sind, muß auch der Restbruch ganzzahlig sein. Der ganzzahlige Parameter b wird eingeführt und dem Bruch gleichgesetzt: -y b = ———— 3 3b = -y Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist y. Die Gleichung wird nach y umgeformt: y = -3b Nun ist auf der rechten Seite der Gleichung kein Bruch und keine der Variablen mehr enthalten. Durch Einsetzen in umgekehrter Reihenfolge werden nun in allen Gleichungen, in denen eine Variable isoliert wurde, die anderen Variablen eliminiert. Eliminiere die Unbekannte(n) durch Einsetzen in die Gleichung für z: -4y - 6a -4·(-3b) - 6a z = —————————— = ——————————————— = -2a + 4b 3 3 Eliminiere die Unbekannte(n) durch Einsetzen in die Gleichung für x: -10y - 15z -10·(-3b) - 15·(-2a + 4b) x = ———————————— = ——————————————————————————— = 5a - 5b 6 6 Damit hängen alle Variablen nur noch von freien Parametern ab, die unabhängig voneinander die Menge der ganzen Zahlen durchlaufen können: x = 5a - 5b y = -3b z = -2a + 4b Kann man das noch schöner erklären ? Kann man nicht, nur schöner formatieren (siehe website) (c) ist ganz einfach gegeben durch : z=-(x+y)

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