Knopf und Lämpchen

11.08.2017, 02:49

GregorScham

Knopf und Lämpchen

Meine Frage:
Wenn ich auf einen Knopf drücke dann leuchtet mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% ein Lämpchen auf. Wie oft muss ich den Knopf jetzt mindestens drücken damit das Lämpchen 10 mal geleuchtet hat?

Meine Ideen:
Ich bin kein Schüler und muss auch keine Aufgabe lösen. Ich kam nur durch Zufall auf diese Frage und zerbreche mir seither den Kopf darüber... ich hatte aber vor Jahren in der Schule Stochastik und ich glaube irgendwie könnte das mit Bernoulli zu lösen sein? Aber wie ich habe keine Ahnung mehr

11.08.2017, 04:04

Dopap

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Das mit dem Bernoulli ist schon richtigerweise noch in Erinnerung geblieben. Das ist ein Zufallsversuch mit 2 möglichen Ergebnissen.
Wird der Versuch wiederholt und bleibt die Wahrscheinlichkeit konstant dann entsteht eine Bernoullikette. Wird die Anzahl der "Treffer" gezählt, dann erhält man die Binomialverteilung.

Nur ist es so, dass man kein Ergebnis mit Sicherheit angeben kann sondern nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit behaftet. geschockt

Die numerische Auswertung ist unangenehm, aber es gibt ja spezielle Rechner dafür.

Sei n die Versuchsanzahl, p=0.2 und T die Trefferanzahl so gilt für n=75 :

$\begin{eqnarray*} p(T\geq 10)= 1- p(T\leq 9)=1-F(75,.2,9)= 1-0.05=95% \end{eqnarray*}$

Letzteres gibt man bei

http://www.ingo-bartling.de/mathe/klasse...nomialvert.html

bequem ein. Wer will kann jetzt mit den Werten "spielen".

edit: solltest du auf genau 10 Treffer bestehen, dann ist das am wahrscheinichsten für n=50 Versuche.
Auch das geht auf obiger Seite zu berechnen.

11.08.2017, 07:47

PhyMaLehrer

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Bei meinem Lieblingsthema geschockt

"Wahrscheinlichkeit" muß ich mich doch mal wieder 'reindrängeln...

Ich hätte ja auch gesagt: Da im Durchschnitt nur bei jedem 5. Drücken das Lämpchen leuchtet, muß ich für 10 "Erleuchtungen" eben 50 mal drücken. Aber das erschien mir zu einfach, denn bei diesem Thema sind intuitive Lösungen doch meistens falsch... unglücklich

11.08.2017, 10:59

Clearly_wrong

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Wie Dopap schon gesagt hat, es gibt keine Anzahl an Knopfdrückungen, bei der du dir sicher sein kannst, dass die Lampe 10 mal geleuchtet hat. Die Mindestanzahl damit das überhaupt klappen kann, ist natürlich 10. Mit anderen Worten: Deine Frage ist nicht sehr sinnvoll gestellt.

Sinnvollere Fragestellungen wären:
(1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit, muss man $\begin{align*} k \end{align*}$ -mal (oder mehr) drücken.
(2) Wie oft muss ich mindestens drücken, damit ich mit einer Wahrscheinlichkeit von $\begin{align*} q \end{align*}$ die Lampe zehnmal oder öfter geleuchtet hat.

(1) wird von der negativen Binomialverteilung modelliert. Die Wahrscheinlichkeit, dass du genau $\begin{align*} n \end{align*}$ -mal drücken musst, ist $\begin{align*} \binom{n-1}{r-1}p^r(1-p)^{n-r} \end{align*}$ , wobei in diesem Fall $\begin{align*} p=0.2 \end{align*}$ und $\begin{align*} r=10 \end{align*}$ , also spezieller $\begin{align*} \binom{n-1}{9}0.2^{10}0.8^{n-10} \end{align*}$ .

Die Wahrscheinlichkeit, dass du mindestens $\begin{align*} n \end{align*}$ -mal drücken musst, ist damit $\begin{align*} 1-\sum_{k=10}^{n-1} \binom{k-1}{9}0.2^{10}0.8^{k-10} \end{align*}$ .

(2) hat Dopap schon beschrieben, hier nur ergänzend.

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lampe nach $\begin{align*} n \end{align*}$ Versuchen $\begin{align*} 10 \end{align*}$ -mal geleuchtet hat, ist $\begin{align*} \binom{n}{10}0.2^100.8^{n-10} \end{align*}$ . Dementsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie mindestens $\begin{align*} 10 \end{align*}$ -mal geleuchtet hat $\begin{align*} 1-\sum_{k=0}^9 \binom{n}{k}0.2^k0.8^{n-k} \end{align*}$ . Du müsstest also das minimale $\begin{align*} n \end{align*}$ finden, so dass $\begin{align*} 1-\sum_{k=0}^9 \binom{n}{k}0.2^k0.8^{n-k}\geq q \end{align*}$ .

Wahrscheinlich lässt sich auch (2) mit der negativen Binomialverteilung angehen, ich habe aber gerade keine Zeit, mir den Kopf darüber zu zerbrechen.

11.08.2017, 11:05

Huggy

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Zitat:

Original von PhyMaLehrer
Ich hätte ja auch gesagt: Da im Durchschnitt nur bei jedem 5. Drücken das Lämpchen leuchtet, muß ich für 10 "Erleuchtungen" eben 50 mal drücken.

Wie Dopap schon sagte, kann man nur Wahrscheinlichkeiten angeben. Es kann passieren, dass man schon im 10. Versuch 10 Erfolge hatte. Es kann theoretisch auch passieren, dass man nach 1000 Versuchen noch keine 10 Erfolge hatte. Der intuitive Wert 50 Versuche ist tatsächlich richtig für den Erwartungswert der Zahl der Versuche bis zum 10. Erfolg. Volkstümlich: Im Mittel muss man 50 mal drücken, um 10 Erfolge zu haben.

Nicht richtig ist dagegen

Zitat:

Original von Dopap
edit: solltest du auf genau 10 Treffer bestehen, dann ist das am wahrscheinichsten für n=50 Versuche.

Die neagative Binomialverteilung hat bei diesen Parametern ihr Maximum bei $\begin{eqnarray*} n=45 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=46 \end{eqnarray*}$ .

11.08.2017, 17:07

Dopap

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das war wohl nicht richtig formuliert heut Nacht.

bei 50 Versuchen sind 10 Treffer am wahrscheinlichsten

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