Mixing mit Rate - Gilt das Selbe für ein Bootstrap Sample?

12.08.2017, 12:26

Matheneuling1991

Mixing mit Rate - Gilt das Selbe für ein Bootstrap Sample?

Ich habe folgendes Problem:

Angenommen wir haben einen stationären(stationary) Prozess und wir wissen, dass er z.b. $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ -mixing ist mit einer bestimmten Rate;
Für die Leute, die die Definition nicht im Kopf haben: Hier eine Definition:

Angenommen wir haben einen Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb P) \end{eqnarray*}$ und zwei sigma-subalgebras $\begin{eqnarray*} \sigma_1, \sigma_2 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ . Dann definieren wir den $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ -Mischungskoeffizienten (mixing-coefficent)

$\begin{eqnarray*} \phi(\sigma_1,\sigma_2):= \sup\limits_{B \in \sigma_1, A \in \sigma_2, \mathbb{P}(B)>0}\bigg \vert \mathbb{P}(A \mid B)-\mathbb{P}(A)\bigg \vert \end{eqnarray*}$

Nun angenommen wir haben einen stationären Prozess $\begin{eqnarray*} \{X_t\}_{t \in \mathbb Z} \end{eqnarray*}$ ; Dann definieren wir mit $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}_a^b \end{eqnarray*}$ die sigma-subalgebra $\begin{eqnarray*} \sigma(X_a,...,X_b) \end{eqnarray*}$ erzeugt von $\begin{eqnarray*} X_a,...X_b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a\leq b \end{eqnarray*}$ ;

Dann können wir den $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ -mixing Koeffizienten bezüglich des stationären Prozesses definieren als:

$\begin{eqnarray*} \phi(n):=\phi(\mathcal{F}_{-\infty}^0,\mathcal{F}_{n}^\infty) \end{eqnarray*}$ ;

wir sagen, dass der Prozess $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ -mixing ist, wenn der Koeffizient für n gegen unendlich gegen 0 geht; Oft können wir eine Rate hinzufügen;

z.B. $\begin{eqnarray*} \phi(n) \leq n^{-1-\epsilon} \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ;

Nun meine Frage: Angenommen ich habe ein gegebenes sample $\begin{eqnarray*} [X_1, \ldots, X_T] \end{eqnarray*}$ dieses stationären Prozesses; Dann gilt selbstverständlich diese $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ .mixing rate auch dafür;
Nun möchte ich aber ein Bootstrap darauf anwenden;
d.h. ich wähle $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ zufällige Zahlen $\begin{eqnarray*} \{i_1,...,i_T\} \end{eqnarray*}$ gleichförmig aus den Zahlen $\begin{eqnarray*} \{1,...,T\} \end{eqnarray*}$ mit Zurücklegen und definiere das Bootstrap-Sample als:

$\begin{eqnarray*} X_{i_1}, \ldots, X_{i_T} \end{eqnarray*}$

Was ich nun beweisen will: Die $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ -mixing Rate gilt auch für das Bootstrap sample; Das heißt entweder:

$\begin{eqnarray*} \phi_2(n)\leq \phi(n) \end{eqnarray*}$ oder zumindest $\begin{eqnarray*} \phi_2(n)\leq C \phi(n) \end{eqnarray*}$ für eine Konstante $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \phi_2(n) \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ -mixingrate eines Bootstrap-Samples darstellen soll;

Rein objektiv erscheint es logisch, da durch das Bootstrap eingentlich Information verloren geht; Aber wie kann man das beweisen?

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EDIT: Ich wollte es möglichst vereinfachen, aber ich bin unsicher, ob es für das normale Bootstrap überhaupt funktioniert, deswegen beschreibe ich es genau:

Wir wählen eine Blocklänge: $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ ; Diese ist abhängig von der Größe des samples $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , genauer gesagt wir wählen $\begin{eqnarray*} l=T^{1-\epsilon_2} \end{eqnarray*}$ mit einer Konstante $\begin{eqnarray*} \epsilon_2 \in (0,1) \end{eqnarray*}$ , z.B. 0.8;

Dann wählen wir $\begin{eqnarray*} k=\frac{T}{l} \end{eqnarray*}$ Zufallszahlen $\begin{eqnarray*} \{i_1, \ldots i_k\} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \{1,...,T\} \end{eqnarray*}$ aus und definieren das Bootstrap sample als

$\begin{eqnarray*} X_{i_1},..., X_{i_1+(l-1)}, X_{i_2},..., X_{i_2+(l-1))},...,X_{i_k}, ..., X_{i_k+(l-1)} \end{eqnarray*}$

Für diese Indizes, die $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ übersteigen, rechnen wir den Index einfach modulo T, also wenn z.B. $\begin{eqnarray*} i_1+(l-1)>T \end{eqnarray*}$ , dann fügen wir nicht $\begin{eqnarray*} X_{i_1+(l-1)} \end{eqnarray*}$ hinzu, sondern $\begin{eqnarray*} X_{i_1+(l-1)-T} \end{eqnarray*}$

Dann haben wir wieder ein sample der Größe T; Offensichtlich ist, dass die Blocklänge und die Anzahl der Blocks gegen unendlich geht;

Oh und ich habe angenommen, dass $\begin{eqnarray*} l=T^{1-\epsilon_2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k=\frac{T}{l} \end{eqnarray*}$ immer ganze Zahlen sind, was natürlich nicht der Fall ist, allerdings ist das hier unwichtig, das heißt wir können annehmen, dass dies stimmt

Über Hilfe freue ich mich

LG

12.08.2017, 15:38

Huggy

Mixing mit Rate - Gilt das Selbe für ein Bootstrap Sample?

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